Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHO QUAN ĐÊ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 _ NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1. (5,0 điểm) 1) Tính giá trị của các biểu thức sau : a)A 44.82 202 18.44 17 18 19 20 1 1 1 b)C . 28 29 30 31 2 3 6 3 3 3 c)S 3 ..... 2 22 210 32 32 32 d)D .... 1.4 4.7 13.16 2) So sánh hai số sau : A 3300 và B 5200 1 1 1 1 1 3) Chứng minh rằng Q ....... 1với n N,n 2 22 32 42 n 1 2 n2 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Tìm x biết : a)72 : x 3 23 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b) 224 12 20 30 42 56 72 2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 30;39;42 thì được các số dư lần lượt là 11;20;23 3) Tìm phân số tối giản biết giá trị của nó không đổi khi ta cộng tử số với 6 và cộng mẫu số với 8 Câu 3. (4,0 điểm) 4n 1 1) Cho biểu thức P 2n 3 a) Tìm số nguyên n để P nhận giá trị là số nguyên b) Tìm số nguyên n để P có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm số dư trong phép chia số B 8102 2102 20162016 cho 5 Câu 4. (5,5 điểm) Cho tam giác ABC có BC=6cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD 3cm a) Tính độ dài CD b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài BM c) Biết D· AC 120, Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của B· AC, B· AD . Tính số đo x· Ay d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AB, AC, Ax thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành ? Vì sao ? Câu 5. (1,5 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng biểu thức C p 1 p 1 chia hết cho 24.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (5,0 điểm) 4) Tính giá trị của các biểu thức sau : a)A 44.82 202 18.44 44. 82 18 400 44.100 400 4000 17 18 19 20 1 1 1 17 18 19 20 b)C . .0 0 28 29 30 31 2 3 6 28 29 30 31 3 3 3 1 3 3 1 3 c)S 3 2 ..... 10 3 3 ..... 9 3 (S 10 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 6141 2S 6 S S 6 6 210 210 1024 1024 32 32 32 3 3 3 d)D .... 3. .... 1.4 4.7 13.16 1.4 4.7 13.16 1 1 1 1 1 1 45 3. 1 .... 3. 1 4 4 7 13 16 16 16 5) So sánh hai số sau : A 3300 và B 5200 100 100 A 33 27100 ; B 52 25100 ; Do 27100 25100 A B 1 1 1 1 1 6) Chứng minh rằng Q ....... 1với n N,n 2 22 32 42 n 1 2 n2 1 1 1 1 1 Q ....... 22 32 42 n 1 2 n2 1 1 1 1 1 1 ..... ..... 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 (n 1).n 1 1 1 1 1 1 1 .... Q 1 Q 1 2 2 3 n 1 n n Câu 2. (4,0 điểm) 4) Tìm x biết : 3 72 x 3 9 x 12 a)72 : x 3 2 x 3 9 8 x 3 9 x 6 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b) 224 12 20 30 42 56 72 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 .... 224 x 1 .... 224 3.4 4.5 8.9 3 4 4 5 8 9 224 x 1 1008 x 1009 1 1 3 9 5) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 30;39;42 thì được các số dư lần lượt là 11;20;23
3. Gọi số tự nhiên phải tìm là x Từ giả thiết suy ra x 19 30, x 19 39, x 19 42 x 19 BC(30;39;42) Ta có BCNN(30;39;42) 2730 x 19 k.2730 k N Vì x là số tự nhiên có 4 chữ số nên x 9999 x 19 10018 k.2730 10018 k 1,2,3 x 2711,5441,8171 Vậy số cần tìm là 2711,5441,8171 6) Tìm phân số tối giản biết giá trị của nó không đổi khi ta cộng tử số với 6 và cộng mẫu số với 8 a a a 6 Gọi phân số cần tìm là . Theo đầu bài ta có b b b 8 a 3 a b 8 b a 6 8a 6b b 4 3 Vậy phân số đã cho là 4 Câu 3. (4,0 điểm) 4n 1 3) Cho biểu thức P 2n 3 c) Tìm số nguyên n để P nhận giá trị là số nguyên 4n 1 4n 1 2 2n 3 5 5 P Z P Z ma` 2 2n 3 2n 3 2n 3 2n 3 P Z 2n 3 U (5) 1; 5 n 4; 2; 1;1 d) Tìm số nguyên n để P có giá trị nhỏ nhất 5 5 Vì P 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì lớn nhất 2n 3 2n 3 Suy ra 2n+3 có giá trị nhỏ nhất mà n Z 2n 3 Z và là số nguyên dương nhỏ nhất 2n 3 1 n 1 Vậy với n 1thì P có giá trị nhỏ nhất bằng -3 4) Tìm số dư trong phép chia số B 8102 2102 20162016 cho 5 Ta có : 25 8102 84 .82 .....6 25 .64 .....6 .64 ........4 1 25 2102 24 .22 1625.4 (......6).4 .........4 2 Từ (1) và (2) ta có 8102 2102 có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5 Số 2016 có chữ số hàng đơn vị là 6 nên 20162016 có chữ số tận cùng là 6 Vậy B chia cho 5 dư 1 Câu 4. (5,5 điểm) Cho tam giác ABC có BC=6cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD 3cm
4. A C D B M x y e) Tính độ dài CD Vì điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa hai tia C và D, ta có CD BC BD 6 3 9(cm) f) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài BM Vì M là trung điểm của đoạn CD nên CM MD CD : 2 4,5(cm) CM < CB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B Ta có BC BM CM BM BC CM 6 4,5 1,5(cm) g) Biết D· AC 120, Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của B· AC, B· AD . Tính số đo x· Ay 1 Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên x· AB B· AC 2 1 Vì Ay là tia phân giác của góc BAD nên ·yAB B· AD 2 Vì điểm B nằm giữa hai điểm C và D nên tia AB nằm giữa hai tia AC, AD B· AC B· AD D· AC 120 Vì Ax là tia phân giác của B· AC, Ay là tia phân giác của B· AD nên tia AB nằm giữa hai tia Ax, Ay 1 1 1 1 x· Ay x· AB B· Ay B· AC B· AD B· AC B· AD D· AC 60 2 2 2 2
5. h) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AB, AC, Ax thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành ? Vì sao ? Ta có n 3 tia gốc A phân biệt (kể cả các tia AB, AC, Ax) Mỗi tia trong n 3 tia hợp với n 2 tia còn lại 1 góc Có n+3 tia như vậy nên có tất cả n 3 n 2 góc n 3 n 2 Tính như thế mỗi góc đã được tính 2 lần nên có tất cả góc đỉnh A 2 Câu 5. (1,5 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng biểu thức C p 1 p 1 chia hết cho 24. Vì p là số nguyên tố, p > 3 nên p lẻ và p không chia hết cho 3 p là số lẻ nên p 1; p 1là các số chẵn C p 1 p 1 là tích hai số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (1) Mặt khác p 1; p; p 1là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3 p 13 Vì p không chia hết cho 3 C p 1 p 1 3 2 p 13 Vì (3,8)=1 nên từ 1 , 2 C24