Đề thi Olympic Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT huyện Mỹ Đức (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Olympic Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT huyện Mỹ Đức (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT HUYỆN MỸ ĐỨC DE THI OLYMPIC NĂM HỌC 2022-2023. MÔN: TOÁN 6 Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính một cách hợp lý. 3 3 3 3 381 415 34 92 a)A 23 4 2021 9 9 9 10 4 9 15 9 23 4 2021 121212 121212 121212 b)B 70. 565656 727272 909090 Bài 2 : ( 5 điểm) a) Tìm x biết: 10 x 2 50 n 3 b) Cho biểu thức A n Z,n 2 . Tìm n để A có giá trị lớn nhất n 2 1 y 5 c) Tìm các số dương x, y thỏa mãn x 2 8 Bài 3 : (5 điểm) a) Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng 10 học sinh thì thừa 3 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 12 học sinh thì thừa 5 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 15 học sinh thì thừa 8 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 19 học sinh thì vừa đủ, biết học sinh của trường đó lớn hơn 800 và nhỏ hơn 1000. b) Tìm số nguyên tố p sao cho p+6, p+12, p+18, p+24 đều là các số nguyên tố. Bài 4: (5.0 điểm) Trên đoạn thẳng AB = 5cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Khi BM = 2cm . Hãy tính độ dài đoạn BN b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ các tia Ax và Ay sao cho BAx = 40°, BAy = 110°. Chứng tỏ rằng: tia Ay là tia phân giác của góc Nax c) Chứng tỏ rằng khi điểm M thay đổi trên đoạn thẳng AB thì biểu thức S = BM + BN là một số không đổi. Bài 5: (1.0 điểm): 1 1 1 Cho 2012 số nguyên dương a1,a2 ,a3 ,.....a2021 thỏa mãn ...... 1011 a1 a2 a2021 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau
2. ĐÁP ÁN Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính một cách hợp lý. 3 3 3 3 381 415 34 92 a)A 23 4 2021 9 9 9 10 4 9 15 9 23 4 2021 1 1 1 3 1 81 15 23 4 2021 3 4 .0 1 1 0 1 1 1 1510 94 3 3 9 1 23 4 2021 121212 121212 121212 1 1 1 b)B 70. 70.12. 565656 727272 909090 56 72 90 1 1 1 1 1 70.12. 840. 36 7.8 8.9 9.10 7 10 Bài 2 : ( 5 điểm) 0 x 2 9 x 11 a) Tìm x biết: 10 x 2 5 x 2 9 x 2 9 x 7 n 3 b) Cho biểu thức A n Z,n 2 . Tìm n để A có giá trị lớn nhất n 2 n 3 1 A 1 n 2 n 2 A n 2 & n 2 0 n 2 1 n 1 max min Vậy n= - 1 thì thỏa đề 1 y 5 c) Tìm các số dương x, y thỏa mãn x 2 8 1 y 5 2 xy 5 4 2 xy 5x x 2 8 2x 8 5x 4xy 8 x 5 4y 8 x;5 4y U (8) 1; 2; 4; 8 x; y 8;1 Bài 3 : (5 điểm) a) Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng 10 học sinh thì thừa 3 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 12 học sinh thì thừa 5 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 15 học sinh thì thừa 8 học sinh, nếu xếp mỗi hàng 19 học sinh thì vừa đủ, biết học sinh của trường đó lớn hơn 800 và nhỏ hơn 1000.
3. Gọi số học sinh của trường THCS A là a ( a N,800 a 1000 ) Theo bài ra ta có : a = 10b +3; a = 12c +5; a = 15d +8; a = 19e (b,c,d,e N*) ⇒a+7:10; 12;15 a +7 BC (10,12,15)=B (60) ⇒a+7=60k⇒a= 60k -7 Vì a= 60k -7; 800 < a < 1000; a: 19⇒ a = 893 Vậy số học sinh của trường THCS A là 893 em. b) Tìm số nguyên tố p sao cho p+6, p+12, p+18, p+24 đều là các số nguyên tố. +/p=2⇒p+6=8 +/p=3 => p + 12 = 15 Vì 8;15 là các hợp số nên p =2; p = 3 không phải là giá trị cần tìm. +/p=5 ⇒p + 6 = 11; p + 12 = 17; p + 18 = 23; p + 24 = 29 Vì 11;17:23;29 là số nguyên tố nên p=5 +/p> 5⇒ p { 5k ± 1;5k ± 2} */ p = 5k+l⇒p + 24 = 5k + 25 > 5;  5 */ p = 5k-1⇒p + 6 = 5k +5 > 5;  5 */ p = 5k+2 => p + 18 = 5k + 20 > 5;  5 */ p = 5k-2⇒ p + 12 = 5k + 10> 5,  5 Vì với_p>5 thì p+6; p+12; p+18; p+24 là hợp số nên p > 5 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy p = 5thì p+6, p+12, p+18, p+24 đều là các số nguyên tố. Bài 4: (5.0 điểm) Trên đoạn thẳng AB = 5cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. y x N A M B
4. a) Khi BM = 2cm . Hãy tính độ dài đoạn BN Vì M thuộc AB nên AM MB AB AM 2 5 AM 3cm Có AN AM AN 3cm Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa hai điểm N và B BN AB AN 5 3 8cm . Vậy BN 8cm b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ các tia Ax và Ay sao cho BAx = 40°, BAy = 110°. Chứng tỏ rằng: tia Ay là tia phân giác của góc Nax Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có : B· Ax B· Ay 40 110 Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có : B· Ax x· Ay B· Ay hay 40 x· Ay 110 x· Ay 70 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB ta có B· Ay và N· Ay là hai góc kề bù Hay B· Ay N· Ay 180 110 N· Ay 180 N· Ay 70 Tương tự N· Ax 140 N· Ax Vì x· Ay N· Ay 70. Nên tia Ay là tia phân giác của N· Ax 2 c) Chứng tỏ rằng khi điểm M thay đổi trên đoạn thẳng AB thì biểu thức S = BM + BN là một số không đổi. S BM BN BM AB AN BM AB AM BM AM AB AB AB 2AB 10cm Vậy S BM BN là một số không đổi Bài 5: (1.0 điểm): Cho 2012 số nguyên dương a1,a2 ,a3 ,.....a2021 thỏa mãn 1 1 1 ...... 1011 a1 a2 a2021 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau Giả sử trong 2021 số nguyên dương a1,a2 ,a3 ,.....a2021 không có hai số nào đã cho bằng nhau. Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...... .... 1 ..... 1 1010 1011 a1 a2 a2021 1 2 3 2021 2 2 2 Trái với bài ra. Vậy ít nhất 2 trong 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau.