Đề khảo sát Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề khảo sát Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 _ NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1. (5,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính : A 53.39 47.39 53.21 47.21 113113 B 113113.114 114114.113 114114 2) Cho các biểu thức : 1 1 1 1 12 22 32 42 992 C .... và D . . . ...... 1.2 2.3 3.4 99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Tính C và D . So sánh C 1 2 với D2 Câu 2. (4,0 điểm) 1 x 1 1) Tìm các số tự nhiên x biết 5 30 4 12 2) Cho phân số . Biết rằng nếu cộng cả tử và mẫu của phân số đã cho với cùng một số tự 17 4 nhiên n thì ta được phân số mới có giá trị bằng . Tìm số tự nhiên n 5 2 y 3) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện 2x 1 4 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho E 5 52 53 54 ..... 5100 . Tìm số dư khi chia E cho 6 2) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n n 2 n 7 3 3) Tìm số nguyên tố nhỏ hơn 200, biết rằng khi chia số đó cho 60 thì số dư là hợp số Câu 4. (5,5 điểm) 1) Cho đoạn thẳng MN 10cm . Lấy điểm P trên đoạn thẳng MN sao cho MP 2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng PN b) Lấy điểm Q bất kỳ trên đoạn thẳng PN (Q không trùng với P và N). Gọi A và B lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng PQ và QN. Tính độ dài đoạn thẳng AB 2) Cho x· Oy 60. Vẽ ·yOz kề bù với x· Oy . Gọi Om là tia phân giác của ·yOz . Chứng tỏ rằng tia Oy là tia phân giác của x·Om Câu 5. (1,5 điểm) a a 1 1) Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0. Chứng tỏ rằng chưa tối giản bc b c 2) Tìm ba số tự nhiên khác nhau có tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1.
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (5,0 điểm) 3) Thực hiện phép tính : A 53.39 47.39 53.21 47.21 39. 53 47 21. 53 47 3900 2100 1800 113113 B 113113.114 114114.113 114114 113.1001 113 113.114.1001 113.114.1001 114.1001 114 4) Cho các biểu thức : 1 1 1 1 12 22 32 42 992 C .... và D . . . ...... 1.2 2.3 3.4 99.100 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Tính C và D . So sánh C 1 2 với D2 1 1 1 1 1 1 99 C 1 .... 1 2 2 3 99 100 100 100 12 22 32 42 992 1.2.3...99 . 1.2.3....99 1 D . . . ...... 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 (1.2.3....99).(2.3....100) 100 2 2 2 2 1 1 1 2 (C 1) 1 1 D 100 100 100 Câu 2. (4,0 điểm) 1 x 1 4) Tìm các số tự nhiên x biết 5 30 4 1 x 1 12 2x 15 2x 14 x 7 5 30 4 60 60 60 12 5) Cho phân số . Biết rằng nếu cộng cả tử và mẫu của phân số đã cho với cùng một 17 4 số tự nhiên n thì ta được phân số mới có giá trị bằng . Tìm số tự nhiên n 5 Theo đề bài ta có : 12 n 4 5 12 n 4. 17 n 60 5n 68 4n n 8 17 n 5 2 y 6) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện 2x 1 4 2 y y 2x 1 8 8.1 8. 1(do 2x 1le ~) 2x 1 4 y 8 8 2x 1 1 1 x 0 1 x; y 0;8 ; 1; 8  Câu 3. (4,0 điểm)
3. 4) Cho E 5 52 53 54 ..... 5100 . Tìm số dư khi chia E cho 6 E 5 52 53 54 ..... 5100 5. 1 5 53. 1 5 ..... 599. 1 5 6. 5 53 .... 599 6 E6 5) Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì n n 2 n 7 3 Xét các trường hợp : n 3k;n 3k 1;n 3k 2,k N n 3k n3 n n 2 n 7 3 n 3k 1 n 2 4 3k 33 n n 2 n 7 3 n 3k 2 n 7 3k 93 n n 2 n 7 3 Vậy với mọi n thì n n 2 n 7 3 6) Tìm số nguyên tố nhỏ hơn 200, biết rằng khi chia số đó cho 60 thì số dư là hợp số Gọi p là số nguyên tố cần tìm. Ta có : p 60k r 22.3.5.k r,k,r N;0 r 60và r là hợp số Do p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2;3;5 Chọn các hợp số nhỏ hơn 60, loại đi các số chia hết cho 2,3,5, ta được r 49 p 169 132 (ktm) Suy ra p 60k 49,do p 200 p 109 Câu 4. (5,5 điểm) 3) Cho đoạn thẳng MN 10cm . Lấy điểm P trên đoạn thẳng MN sao cho MP 2cm M P A Q B N c) Tính độ dài đoạn thẳng PN Vì P thuộc đoạn MN nên P nằm giữa M và N Suy ra MP PN MN hay 2 PN 10 PN 8cm d) Lấy điểm Q bất kỳ trên đoạn thẳng PN (Q không trùng với P và N). Gọi A và B lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng PQ và QN. Tính độ dài đoạn thẳng AB 1 Do A là trung điểm của PQ nên AQ PQ 1 2 1 Do B là trung điểm của NQ nên BQ QN 2 2 Ta có PA PQ PB và các điểm A,Q, B nằm cùng phía đối với điểm P nên Q nằm giữa A và B. Suy ra AQ QB AB , kết hợp (1) và (2) ta có : 1 1 1 1 AB AQ QB PQ QN PQ QN PN 4cm 2 2 2 2 4) Cho x· Oy 60. Vẽ ·yOz kề bù với x· Oy . Gọi Om là tia phân giác của ·yOz . Chứng tỏ rằng tia Oy là tia phân giác của x·Om
4. y m 60° O z x Do x· Oy và ·yOz là hai góc kề bù nên x· Oy ·yOz 180 ·yOz 180 x· Oy 180 60 120 1 1 Vì Om là tia phân giác của ·yOz m· Oz m· Oy ·yOz .120 60 2 2 Tính được x·Om 180 m· Oz 180 60 120 x· Oy x·Om Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ox,Om 3 , mà x· Oy ·yOm 60 4 Từ (3) và (4) suy ra tia Oy là phân giác của x·Om Câu 5. (1,5 điểm) a a 1 3) Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0. Chứng tỏ rằng chưa tối giản bc b c Vì a và a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên a a 1 2 1 . Mặt khác Trong hai số b, c nếu có 1 số chẵn thì bc(b c)2 Hai số b,c cùng lẻ thì bc b c 2 Do vậy bc b c 2 với mọi số tự nhiên b,c khác 0 (2) a a 1 Từ (1) và (2) suy ra chưa tối giản bc b c 4) Tìm ba số tự nhiên khác nhau có tổng các nghịch đảo của chúng bằng 1. 1 1 1 Gọi a,b,c là ba số tự nhiên cần tìm. Giả sử 1 a b c . Ta có 1 1 a b c 1 1 1 1 1 1 Vì a 3.ma` 1 a 1 a 2 . Thay vào (1) ta được : a b c a 3 a
5. 1 1 1 2 b c 2 Lại tìm khoảng giá trị của b ta được 2 b 4 b 3 c 6 1 1 1 Vậy 1 2 3 6