Đề khảo sát Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thạch Thành (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề khảo sát Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thạch Thành (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1. (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : a)A 53.81 47.14 81.47 14.53 b)B 1 2100 550 2100 11 550 2 2 2 2 c)C ...... 1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 1 1 d)D 1 1 1 ..... 1 1.3 2.4 3.5 2019.2021 Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm hai số tự nhiên a,b biết BCNN a,b 300;UCLN a,b 15và a 15 b b) Cho x,y là các số nguyên. Chứng minh rằng : Nếu 7x 4y37 thì 13x 18y37 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm x, biết : a)x (x 1) (x 2) ..... (x 30) 1240 x x 1 x 2 18 b)5 .5 .5 10000....000 : 2 18chu so0 1011 1 1010 1 2) Cho A ; B . So sánh A và B 1012 1 1011 1 Câu 4. (4,0 điểm) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm a) Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n b) Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2021 được không ? Vì sao ? Câu 5. (4,0 điểm) 1 1 1 4 a) Tìm bộ ba số nguyên dương a,b,c sao cho a b c 5 1 1 1 1 3 b) Cho A ...... . Chứng minh rằng A 22 32 42 1002 4
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : a)A 53.81 47.14 81.47 14.53 81. 53 47 14. 47 53 81.100 14.100 6700 b)B 1 2100 550 2100 11 550 2100 1 550 2100 550 11 10 (vì 1 2100 0;550 2100 0; 11 550 0 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c)C ...... . 1 .... 1.4 4.7 7.10 97.100 3 4 4 7 97 100 2 1 1 33 . 3 1 100 50 1 1 1 1 d)D 1 1 1 ..... 1 1.3 2.4 3.5 2019.2021 22 32 20202 2.3.4.....2020 . 2.3.4......2020 4040 . ...... 1.3 2.4 2019.2021 1.2.3.....2019 . 3.4.5.....2021 2021 Câu 2. (4,0 điểm) c) Tìm hai số tự nhiên a,b biết BCNN a,b 300;UCLN a,b 15và a 15 b Vì UCLN a,b 15 nên ắt tồn tại các số tự nhiên m,n khác 0, sao cho : a 15m,b 15n 1 và UCLN m,n 1 2 Vì BCNN a,b 300 nên theo trên ta suy ra BCNN 15m,15n 300 15.20 BCNN(m,n) 20 Vì a 15 b 15m 15 15n 15 m 1 15n m 1 n 4 Trong các trường hợp thỏa mãn (2), (3) thì chỉ có trường hợp m=4, n=5 là thỏa mãn điều kiện (4) Vậy với m 4,n 5ta được các số phải tìm là a 15.4 60,b 15.5 75 d) Cho x,y là các số nguyên. Chứng minh rằng : Nếu 7x 4y37 thì 13x 18y37 Ta có : 5 13x 18y 4 7x 4y 65x 90y 28x 16y 37x 74y 37 x 2y 37 5 13x 18y 4 7x 4y 37 * .Do7x 4y37 4 7x 4y 37 Do đó từ (*) suy ra 5 13x 18y 37 mà 5,37 1 13x 18y37
3. Câu 3. (4,0 điểm) 3) Tìm x, biết : a)x (x 1) (x 2) ..... (x 30) 1240 (x x .... x) (1 2 3 .... 30) 1240 31x 1240 31.15 x 25 x x 1 x 2 18 x x 1 x 2 18 18 b)5 .5 .5 10000....000 : 2 5 10 : 2 18chu so0 53x 3 518 3x 3 18 x 5 1011 1 1010 1 4) Cho A ; B . So sánh A và B 1012 1 1011 1 1011 1 1012 10 1012 1 9 9 A 10A 1 1012 1 1012 1 1012 1 1012 1 1010 1 1011 10 1011 1 9 9 B 10B 1 1011 1 1011 1 1011 1 1011 1 9 9 Do B A 1011 1 1012 1 Câu 4. (4,0 điểm) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm c) Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n Với n đường thẳng trong đó có bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba dường thẳng nào đồng quy. Số giao điểm được xác định như sau : Chọn 1 đường thẳng, đường thẳng này cắt n 1đường thẳng còn lại tạo ra n – 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n n 1 giao điểm . Nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần, nên số giao điểm là n n 1 : 2 giao điểm Khi số giao điểm là 1128, ta có : n n 1 : 2 1128 n 48 d) Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2021 được không ? Vì sao ? Giả sử số giao điểm bằng 2021, áp dụng kết quả câu a ta có : n n 1 : 2 2021 n n 1 4042 Ta có 63.64 4032 4042 n n 1 4160 64.65 nên không tồn tại n thỏa mãn đề bài Câu 5. (4,0 điểm)
4. 1 1 1 4 c) Tìm bộ ba số nguyên dương a,b,c sao cho a b c 5 3 4 15 Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử a b c . Khi đó ta có a mà a a 5 4 a 1 nguyên dương nên a 2 a 3 1 1 1 1 1 a 2 Nếu a 1(ktm) vì 0 mà theo đề bài 0 b c 4 b c a 3 b 4 c 20 1 1 3 2 3 20 )a 2 b b 5 c 10 b c 10 b 10 3 15 b 6 c (ktm) 2 Vậy các số a,b,c 2;4;20 , 2;5;10 15 b 3 c (ktm) 1 1 7 2 7 30 2 )a 3 b b c 15 b 15 7 60 b 4 c (ktm) 13 Vậy có 12 bộ số thỏa mãn là các hoán vị của hai bộ số 2,4,20 , 2,5,10 1 1 1 1 3 d) Cho A ...... . Chứng minh rằng A 22 32 42 1002 4 1 1 1 1 1 1 1 1 A ...... ..... 22 32 42 1002 22 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 A .... A A A 22 2 3 99 100 22 2 100 22 2 4