Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Nông Công (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Nông Công (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lý a)20202 2020.2021 1 1 1 1 b)B ..... 1.3 3.5 5.7 2009.2011 1 2 3 88 88 ..... c)C 6 7 8 93 1 1 1 1 ..... 12 14 16 186 Bài 2. a) Tìm x, y N biết : 2xy x 8y 14 b) Cho x, y N biết 3x 5y x 4y 7 . CMR : 3x 5y x 4y 49 5n 2 c) Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số ;n N rút gọn được 2n 7 Bài 3. a) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n 1;2n 1;5n 1đều là số chính phương b) Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu ? Bài 4.Vẽ hai góc kề bù xOy, zOy . Vẽ tia Om,On theo thứ tự là tia phân giác của x· Oy, z·Oy Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om a) Tính số đo góc mOn b) Tính số đo của góc kề bù với ·yOm , biết m· 'Oz 30 c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc 1 1 1 1 3 Bài 5. Chứng minh rằng : A ...... 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ..... 2021 4
2. ĐÁP ÁN Bài 1. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lý a)20202 2020.2021 2020. 2020 2021 2020 1 1 1 1 b)B ..... 1.3 3.5 5.7 2009.2011 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2010 1005 . 1 ..... . 1 . 2 3 3 5 2009 2011 2 2011 2 2011 2011 1 2 3 88 1 2 88 88 ..... 1 1 ..... 1 6 7 93 c)C 6 7 8 93 1 1 1 1 1 1 1 1 ..... ..... 12 14 16 186 2 6 7 93 1 1 1 5. ..... 6 7 93 10 1 1 1 1 . ..... 2 6 7 93 Bài 2. d) Tìm x, y N biết : 2xy x 8y 14 2xy x 8y 14 x 2y 1 4 2y 1 10 2y 1 x 4 10 2y 1; x 4 U (10) 1; 2; 5; 10(x 4,2y 1 le ~) 2y 1 1 5 y 0 2 x 4 10 2 x 14 6 Vậy x; y 14;0 ; 6;2  e) Cho x, y N biết 3x 5y x 4y 7 . CMR : 3x 5y x 4y 49 Ta đi chứng minh 3x 5y7 x 4y7
3. *)3x 5y7 x 4y7 3x 5y 7 2 3x 5y 7 2 3x 5y x 4y 7x 14y7 x 4y 7 3x 5y 7, x 4y 7 3x 5y x 4y 49 *)x 4y 3x 5y7 2 3x 5y x 4y 7x 14y7 2 3x 5y 7,(2,7) 1 3x 5y 7 3x 5y 7, x 4y 7 3x 5y x 4y 49(dfcm) 5n 2 f) Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số ;n N rút gọn được 2n 7 Goi d là ước nguyên tố chung của 5n 2;2n 7 . Ta có : 5n 2d 2 5n 2 d 10n 35 10n 4 d 31d 2n 7d 5 2n 7 d Vì d nguyên tố nên d 31 5n 231 5n 2 6231 5n 6031 5 n 12 31 Khi đó 2n 731 2n 7 3131 2n 2431 2 n 12 31 Mà 5,31 1,(2,31) 1 n 1231 n 31k 12 k N Vì 290 n 360 290 31k 12 360 9 k 11 Mà k thuộc N nên k 9;10;11 n 291;322;353 Bài 3. c) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n 1;2n 1;5n 1đều là số chính phương Vì n 1là số chính phương nên khi chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Nếu n 13 thì n chia 3 dư 2, khi đó 2n 1chia 3 dư 2 , vô lý Do đó n 1chia 3 dư 1, hay n3 Vì 2n 1là số chính phương lẻ nên 2n 1chia 8 dư 1, suy ra 2n8 n4 Do đó n 1là số chính phương lẻ nên n 1chia 8 dư 1, suy ra n8 Ta thấy n3,n8, 3,8 1 n24mà n là số nguyên dương nhỏ nhất nên n 24 d) Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu ?
4. Gọi số đã cho là A, ta có : A 7a 3 17b 12 23c 7 Mà A 39 7a 3 39 17b 12 39 23c 7 39 7 a 6 17 b 3 23 c 2 Vậy A 39 7;17;23 Mà 7; 17; 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A 397.17.23 A 392737 Nên A 2737k 39 2737 k 1 2698 Và 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia A cho 2737 Bài 4.Vẽ hai góc kề bù xOy, zOy . Vẽ tia Om,On theo thứ tự là tia phân giác của x· Oy, z·Oy Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om y n m z O x m d) Tính số đo góc mOn · · · · Vì xOy, zOy kề bù (gt) nên xOy zOy 180 và tia Oy nằm giữa hai tia Ox,Oz (1,2) 1 Vì tia Om là tia phân giác của x· Oy x·Om m· Oy x· Oy 3 2 Và tia Om nằm giữa hai tia Ox, Oy (4)
5. 1 Vì tia On là tia phân giác của góc zOy (gt) nên ·yOn n· Oz ·yOz 5 và tia On nằm giữa hai 2 tia Oy, Oz (6) Từ (2), (4), (6) ta có tia Oy nằm giữa hai tia Om, On 1 1 1 Nên m· On m· Oy ·yOn x· Oy ·yOz x· Oy ·yOz 90 2 2 2 e) Tính số đo của góc kề bù với ·yOm , biết m· 'Oz 30 Vì Om,Om'là 2 tia đối nhau nên z·Om và m· 'Oz là hai góc kề bù Nên m· 'Oz m· Oz 180 z·Om 150 Mà z·Om,m· Ox là hai góc kề bù nên : z·Om m· Ox 180 m· Ox 30 Vì tia Om là tia phân giác của x· Oy nên m· Oy m· Ox 30 Vì Om,Om'là hai tia đối nhau nên ·yOm,m· 'Oy là hai góc kề bù Nên ·yOm ·yOm' 180 ·yOm' 150 f) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n 6. Cứ một tia gốc O tạo với n 5 tia gốc O còn lại tạo thành n 5 góc mà có n 6tia nên tạo thành : n 5 n 6 góc Vì tia này tạo với tia kia và ngược lại nên mỗi góc được tính 2 lần n 5 n 6 Vậy ta có 300 n 19 2 Vậy cần vẽ thêm 19tia gốc O để được 300 góc. 1 1 1 1 3 Bài 5. Chứng minh rằng : A ...... 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ..... 2021 4 n n 1 Ta có : 1 2 3 ..... n . Khi đó 2
6. 1 1 1 1 A ..... 1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2021 .1011 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ..... .... 2.4 3.6 4.8 1011.2022 2.2 3.3 1011.1011 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 .... 2.2 2.3 3.4 1010.1011 4 2 1011 4 1011 4