Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Lạc (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Lạc (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 6 _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1. (2,0 điểm) a) So sánh hai số sau : 4127 và 8143 3 3 3 3 3 2015 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn ...... 1 3 6 10 x x 1 : 2 336 6n 1 Bài 2. (2,0 điểm) Cho phân số A (với n nguyên) 4n 3 a) Tìm giá trị n nguyên âm để A có giá trị là số nguyên b) Tìm giá trị n để A là phân số không rút gọn được Bài 3. (2,5 điểm) x 2 7 a) Tìm các cặp giá trị x, y nguyên thỏa mãn 8 2y 3 12 b) Cho phép toán * thỏa mãn , với hai số tự nhiên a và b ta có a*b 3a ba Tìm các số nguyên tố x, y sao cho 2* x y *4 8 cũng là số nguyên tố Bài 4. (2,5 điểm) Cho 3 điểm B,C, D nằm trên đường thẳng xy (C nằm giữa B và D) và điểm A nằm ngoài xy sao cho B· AC 50,C· AD 65 . Kẻ tia Az là tia phân giác của góc BAC cắt xy tại điểm E a) Tính số đo góc EAD và cho biết góc EAD là góc gì b) Từ điểm A vẽ thêm 50 tia phân biệt không đi qua B,C, D, E . Hỏi có bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành c) Trên tia BA lấy thêm 3 điểm phân biệt M, N, P không trùng với B và A. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 8 đỉnh A,B,C,D,E,M, N, P. Bài 5. (1,0 điểm) Một quả bóng đá được khâu từ 32 miếng da. Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với 5 miếng màu trắng, và mỗi miếng màu trắng khâu với 3 miếng màu đen. Hỏi có bao nhiêu miếng màu trắng
2. ĐÁP ÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN LẠC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 6 _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1. (2,0 điểm) c) So sánh hai số sau : 4127 và 8143 85 Ta có : 4127 2254 2255 23 885 , mà 8143 3172 3170 985 Do 885 985 nên 4127 8143 3 3 3 3 3 2015 d) Tìm số nguyên x thỏa mãn ...... 1 3 6 10 x x 1 : 2 336 3 3 3 3 3 2015 6 6 6 6 2015 ...... ..... 1 3 6 10 x x 1 : 2 336 2 6 12 x x 1 336 1 1 1 1 1 2015 1 2015 6 1 .... 1 x 2015 2 2 3 x x 1 336 x 1 2016 6n 1 Bài 2. (2,0 điểm) Cho phân số A (với n nguyên) 4n 3 c) Tìm giá trị n nguyên âm để A có giá trị là số nguyên Với n nguyên giả sử A nguyên thì 6n 14n 3 12n 24n 3 1 Mặt khác ta có 4n 34n 3 12n 94n 3 2 n 1(tm) A 5 Từ (1) và (2) ta có 7 4n 3 4n 3 U (7) 1; 7 1 5 n ;n 1;n (ktm) 2 2 Vậy với = - 1 thì A nguyên d) Tìm giá trị n để A là phân số không rút gọn được Gọi d là ước nguyên tố của 6n+1 và 4n+3 6n 1d 12n 2d 7d 4n 3d 12n 9d Ta thấy A là phân số rút gọn được khi d-7 Xét 6n 17 6n 1 77 6 n 1 7 n 17 n 7k 1 Với n 7k 1 4n 3 28k 7 cũng chia hết cho 7
3. Vậy với n 7k 1 k Z thì A là phân số không rút gọn được Bài 3. (2,5 điểm) x 2 7 c) Tìm các cặp giá trị x, y nguyên thỏa mãn 8 2y 3 12 x 2 7 2 3x 14 8 2y 3 12 2y 3 24 2y 3 3x 14 1.48 1. 48 3.16 3. 16(do 2y 3le ~) 2y 3 1 1 3 3 3x 14 48 48 16 16 y 1 2 0 3 x ktm ktm 10 ktm Vậy x; y 10;0 d) Cho phép toán * thỏa mãn , với hai số tự nhiên a và b ta có a*b 3a ba Tìm các số nguyên tố x, y sao cho 2* x y *4 8 cũng là số nguyên tố Theo bài ra ta có: 2* x y *4 8 6 x2 3y 4 y 8 x2 3y 4 y 2 là số nguyên tố Do x, y là các số nguyên tố nên x≥ 2; y ≥ 2 suy ra A x2 3y 4 y 2 3 Nếu x và y cùng tính chẵn lẻ thì x2 + 3y là số chẵn nên A= x2 3y 4 y 2 là số chẵn , mà A > 2 nên A là hợp số (vô lý) Do đó x chẵn hoặc y chẵn, mà x, y là các số nguyên tố nên x = 2 hoặc y=2. Nếu x = 2 ta có: A 3y 4 y 2 Do 4 y chia 3 luôn dư 1 nên 3y + 4 y +2 chia hết cho 3 mà 3y + 4 +2 > 3 nên A là hợp số (vô lý) Nếu y= 2 thì A = x2 +20. Nếu x không chia hết cho 3 thì x 2 chia 3 dư 1 nên x2 + 20 chia hết cho 3 nên A là hợp số (vô lý) Do đó x chia hết cho 3 mà x là số nguyên tố nên x = 3 Thử lại với x = 3; y= 2 thì A= x2 3y 4 y 2 = 29 (là số nguyên tố) Vậy x = 3 và y = 2
4. Bài 4. (2,5 điểm) Cho 3 điểm B,C, D nằm trên đường thẳng xy (C nằm giữa B và D) và điểm A nằm ngoài xy sao cho B· AC 50,C· AD 65 . Kẻ tia Az là tia phân giác của góc BAC cắt xy tại điểm E D A C E B d) Tính số đo góc EAD và cho biết góc EAD là góc gì 1 1 Theo bài ra AE là tia phân giác của B· AC nên B· AE E· AC B· AC .50 25 2 2 Vì điểm C nằm giữa B và D nên tia AC nằm giữa hai tia AB và AD Lại có AE là tia phân giác của góc B· AC nên tia AB và tia AE nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AC Từ đó suy ra tia AC nằm giữa 2 tia AE, AD D· AE E· AC D· AC 25 65 90 Vậy D· AE là góc vuông e) Từ điểm A vẽ thêm 50 tia phân biệt không đi qua B,C, D, E . Hỏi có bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành Từ điểm Avẽ thêm 50 tia phân biệt không đi qua B,C,D,E . ta có số tia gốc A là : 50 4 54 (tia) Từ 1 tia tạo với 53 tia còn lại được 53 góc đỉnh A Làm tương tự như vậy với 54 tia ta được số góc 53.54 2862 (góc ) Nhưng như vậy mỗi góc được tính 2 lần nên số góc thực tế tại đỉnh A là : 2862 : 2 1431(góc)
5. f) Trên tia BA lấy thêm 3 điểm phân biệt M, N, P không trùng với B và A. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 8 đỉnh A,B,C,D,E,M, N, P. Trên tia BA có 5 điểm nên có 10 đoạn thẳng, Từ mỗi điểm E, C, D nối với hai đầu mút mỗi đoạn thẳng ta được một tam giác nên sẽ có 30 tam giác Trên tia BE có 4 điểm nên có 6 đoạn thẳng, Từ mỗi điểm A, M, N, P. nối với hai đầu mút mỗi đoạn thẳng ta được một tam giác nên sẽ có 24 tam giác Bài 5. (1,0 điểm) Một quả bóng đá được khâu từ 32 miếng da. Mỗi miếng ngũ giác màu đen khâu với 5 miếng màu trắng, và mỗi miếng màu trắng khâu với 3 miếng màu đen. Hỏi có bao nhiêu miếng màu trắng Ta gọi số miếng trắng là x ( x là số tự nhiên, x < 32) gọi số miếng đen là y ( y là số tự nhiên, y < 32) Vì tổng có 32 miếng nên ta có x +y=32 Ta xét các đoạn thẳng là các cạnh của ngũ giác và lục giác. Ta tính tổng số đoạn thẳng theo hai cách: Có x miếng trắng và mỗi miếng có 6 đoạn thẳng, nhưng trong đó mỗi miếng có 3 đoạn thẳng mà được lặp hai lần nên số đoạn thẳng có là: 6x - 3x:2 = 9x: 2 Có y miếng đen và mỗi miếng có 5 đoạn thẳng, nhưng trong đó mỗi đoạn thẳng mà nối hai đỉnh gần nhất của hai ngũ giác được lặp hai lần nên số đoạn thẳng có là: 5y + 5y: 2 = 15y:2 Từ đó ta có 3x =5y = 20 Mà 5x + 5y = 160 nên 8x = 160 nên x =20 Vậy có 20 miếng da màu trắng