Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT huyện Đông Hưng (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT huyện Đông Hưng (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 6 NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1. (3,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : 1) A 16 : 8 6 2021 2022 2019 2026 1 1 1 1 2)B 1 1 1 ..... 1 3 8 15 624 Câu 2. (3,5 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x biết : 24x, 36x , 160x và x là số lớn nhất 1 25 0 11 2) Tìm x biết 1 x 4 : 2022 2 22 5 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Số tự nhiên a chia 36 dư bao nhiêu biết a chia 4 dư 3 và chia 9 dư 4 2) Cho a,b là các số nguyên. Chứng tỏ rằng nếu 2a 3b 7 thì 8a 5b 7 Câu 4. (2,0 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 25m, chiều rộng 20m. Người ta trồng hoa hồng vào bốn hình vuông ở các góc vườn và phần diện tích còn lại trồng hoa cúc. 1) Tính diện tích phần đất trồng hoa mỗi loại 2) Biết mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa hồng phải trả 50000 đồng tiền công, mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa cúc phải trả 40 000 đồng . Tính số tiền công phải trả để trồng hoa cho cả mảnh vườn đó Câu 5. (4,0 diểm) 2n 1 1) Cho biểu thức P n 4 a) Với điều kiện nào của số nguyên n thì P là một phân số . Tính giá trị của P khi n 203 b) Viết tập hợp M các số nguyên n sao cho phân số P có giá tri là một số nguyên 2) Tìm số nguyên tố p,q sao cho p2 3pq q2 là số chính phương . Câu 6. (3,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B,C sao cho OA OC 2cm và OB=7cm 1) Vẽ hình sau đó : a) Tính độ dài đoạn thẳng BC b) Cho biết điểm O có là trung điểm đoạn thẳng AC không ? Vì sao ? 2) Cần lấy thêm trên đường thẳng xy bao nhiêu điểm phân biệt không trùng với các điểm đã cho để trên đường thẳng có 465 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng có mút là hai trong các điểm đó
2. ĐÁP ÁN PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN ĐÔNG HƯNG ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 6 NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1. (3,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : 1) A 16 : 8 6 2021 2022 2019 2026 2 6 2026 2022 1 1 1 1 2)B 1 1 1 ..... 1 3 8 15 624 4 9 625 2.2.3.3.....25.25 25 2 25 . ..... . 3 8 624 1.3.2.4......24.26 1 26 13 Câu 2. (3,5 điểm) 3) Tìm số tự nhiên x biết : 24x, 36x , 160x và x là số lớn nhất : 24x, 36x , 160x và x là số lớn nhất x UCLN(24;36;160) 4 1 25 0 11 4) Tìm x biết 1 x 4 : 2022 2 22 5 1 25 0 11 9 25 11 1 x 4 : 2022 x : 1 1 2 22 5 2 22 5 9 11 25 5 5 9 x . x 7 2 5 22 2 2 2 Vậy x=7 Câu 3. (4,0 điểm) 3) Số tự nhiên a chia 36 dư bao nhiêu biết a chia 4 dư 3 và chia 9 dư 4 Số tự nhiên a chia 4 dư 3 nên a 4x 3, x N Số tự nhiên a chia 9 dư 4 nên a 9y 4, y N Ta có : a 5 4x 3 5 4 x 2 4   a 5 36 a 5 9y 4 5 9(y 1)9  a 5 36 36 a :36 du 31 4) Cho a,b là các số nguyên. Chứng tỏ rằng nếu 2a 3b 7 thì 8a 5b 7 Với a,b Z 2a 3b 7 4 2a 3b 7 1 Xét 4 2a 3b 8a 5b 8a 12b 8a 5b 7b Mà 7b7 4 2a 3b 8a 5b 7 2 Từ (1) và (2) suy ra 8a 5b 7 Như vậy, với mọi a,b nguyên và 2a 3b 7 thì 8a 5b 7
3. Câu 4. (2,0 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 25m, chiều rộng 20m. Người ta trồng hoa hồng vào bốn hình vuông ở các góc vườn và phần diện tích còn lại trồng hoa cúc. 3) Tính diện tích phần đất trồng hoa mỗi loại Diện tích cả mảnh vườn : 25.20 500 m2 Diện tích đất trồng hoa hồng : 4.5.5 100 m2 Diện tích đất trồng hoa cúc là 500 100 400 m2 Vậy diện tích trồng hoa hồng là 100m2 và diện tích trồng hoa cúc là 400 m2 4) Biết mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa hồng phải trả 50000 đồng tiền công, mỗi mét vuông làm đất và trồng hoa cúc phải trả 40 000 đồng . Tính số tiền công phải trả để trồng hoa cho cả mảnh vườn đó Số tiền công phải trả cho việc làm đất và trồng hoa hồng :100.50000 5000000 (đồng) Số tiền công phải trả cho việc làm đất và trồng hoa cúc : 400.40000 16000000 (đồng) Tổng số tiền phải trả cho cả mảnh vườn: 5000000 16000000 21000000 (đồng) Câu 5. (4,0 diểm) 2n 1 3) Cho biểu thức P n 4 c) Với điều kiện nào của số nguyên n thì P là một phân số . Tính giá trị của P khi n 203 2n 1 Z 2n 1 Với n Z , để P là phâ số thì n 4 0 n 4 * n 4 Z n 4 Vậy với số nguyên n cần thỏa mãn thêm điều kiện n 4 thì P là phân số 2 203 1 45 Với n 203(tm(*)) P 203 4 23 d) Viết tập hợp M các số nguyên n sao cho phân số P có giá tri là một số nguyên 2n 1 P Z 2n 1 n 4 2n 1 2 n 4  n 4 9 n 4 n 4 n 4 U (9) 1; 3; 9 n 1; 1; 7;11;5;3(tm) Vậy n 1; 1; 7;11;5;3 thì P nguyên 4) Tìm số nguyên tố p,q sao cho p2 3pq q2 là số chính phương . Giả sử tìm được số nguyên tố p, q để p2 3pq q2 là số chính phương. Ta có p2 3pq q2 m2 m N * 1 Nếu cả hai số nguyên tố p và q đều không chia hết cho 3 thì theo tính chất số chính phương p2 ,q2 là các số chia 3 dư 1 Do đó p2 q2 là số chia 3 dư 2, mà 3pq3 p2 3pq q2 chia 3 dư 2 p2 3pq q2 không là số chính phương (vì số chính phương hoặc chia hết
4. cho 3 hoặc chia 3 dư 1, không có số chính phương chia 3 dư 2) (2) Từ (1) và (2)=> trong hai số nguyên tố p,q phải có số chia hết cho 3 hay trong hai số nguyên tố p, q có một số bằng 3. Do vai trò p và a như nhau nên cho p = 3. Thay p=3 vào (1) ta được 32 3.3q q2 m2 q2 9q 9 m2 Nhân cả hai vế của đẳng thức với 4 ta được 4q2 36q 36 4m2 4q2 18q 18q 81 4m2 45 2q 2q 9 9 2q 9 4m2 45 2q 9 2 4m2 45 Tiếp tục biến đổi và đưa được về dạng (2q+9-2m) (2q+9+2m) = 45=1.45= 3.15 = 5.9 (1) Với q là số nguyên tố và m là số nguyên dương thì 2q + 9 – 2m < 2q+9+2m, Kết hợp với (1) và vận dụng bài toán tổng , hiệu để tìm q, tìm m bằng cách lập bảng: 2q 9 2m 1 3 5 2q 9 2m 45 15 9 q 7 0 1 m 11 3 1 Do p là số nguyên tố nên từ bảng trên ta suy ra p= 7 (thoả mãn) Vì vai trò của p và 4 như nhau nên sau khi thử lại ta tìm được 2 cặp số nguyên tố (p,q) thoả mãn bài toán là (3,7) và (7,3). Câu 6. (3,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B,C sao cho OA OC 2cm và OB=7cm 3) Vẽ hình sau đó : x A O C B y c) Tính độ dài đoạn thẳng BC Hai điểm B, C cùng thuộc tia Ox nên hai điểm B, C nằm cùng phía đối với điểm O nên 2 điểm B , C có một và chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại trong ba điểm thẳng hàng O, B, C (1) Giả sử điểm nằm giữa hai điểm O và C thì OB BC OC Mà OB 7cm,OC 2cm 7 BC 2 2 Vì độ dài đoạn thẳng là một số dương nên 7 BC 7 2 . Điều này mâu thuẫn với (2) nên giả sử sai (3) Từ (1), (3) suy ra C nằm giữa hai điểm O và B nên : OC CB OB 2 CB 7 BC 5cm d) Cho biết điểm O có là trung điểm đoạn thẳng AC không ? Vì sao ? Điểm O nằm trên đường thẳng xy nên hai tia Ox, Oy đối nhau Mà điểm A thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy nên hai điểm A và C nằm khác phía đối với điểm O nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C
5. Ta có OA OC 2cm mà điểm O nằm giữa hai điểm A, C nên O là trung điểm đoạn thẳng AC. Vậy điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng AC 4) Cần lấy thêm trên đường thẳng xy bao nhiêu điểm phân biệt không trùng với các điểm đã cho để trên đường thẳng có 465 đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng có mút là hai trong các điểm đó Gọi n là số điểm phân biệt cần lấy thêm trên đường thẳng không trùng với các điểm O, A, B,C thì tổng số điểm trên đường thẳng xy là n 4 (điểm) (với n N *) Chọn 1 điểm bất kỳ trong số n 4 điểm trên đường thẳng xy, điểm này tạo với n+3 diểm còn lại n+3 đoạn thẳng Như vậy số đoạn thẳng tạo thành : n 4 n 3 đoạn thẳng . Nếu làm như vậy thì mỗi n 3 n 4 đoạn thẳng tính 2 lần nên số đoạn thẳng thực tế : (đoạn thẳng ) 2 n 3 n 4 Theo bài ta có 465 n 3 n 4 930 30.31 n 3 30 n 27 2 Vậy cần lấy thêm trên đường thẳng xy 27 điểm phân biệt không trùng với 4 điểm đã cho