Chuyên đề ôn tập Toán 6 - Dãy số nguyên viết theo quy luật

Nội dung tài liệu: Chuyên đề ôn tập Toán 6 - Dãy số nguyên viết theo quy luật

1. CHUYÊN ĐỀ: “DÃY SỐ NGUYÊN VIẾT THEO QUY LUẬT” Thời gian báo cáo: Tháng 2 năm 2019 Địa điểm: Văn phòng Tổ Tự nhiên Trường THCS PHỐ DIỆM Người báo cáo: HỒ HUY THỊNH DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU 1. Bài toán 1.1: a) Tính A = 5 + 6+ 7+ ... + 2013 + 2014 b) Viết công thức tổng quát tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều. * Cách giải 1 - Nhận xét: + Số hạng đầu là: 5 và số hạng cuối là: 2014. + Khoảng cách giữa hai số hạng là: 1 + Tổng A có số số hạng là: (2014 – 5 ): 1 + 1 = 2010 + Xét cặp (5 + 2014) = (6 + 2013) = ... = 2019 - Ta tính tổng A như sau: A = 5 + 6 + 7 + ... + 2013 + 2014 A = (5 + 2014) + (6 + 2013) + .... + (1009 + 1010) A = 2019 + 2019 + ...... + 2019 do tổng A có 2010 số hạng nên có 1005 số 2019 Vậy A = 2019.1005 = (5 + 2014) . 2010 : 2 = 2029095 * Mội số lưu ý khi hs làm bài toán dạng tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp cách đều này: - Bài toán 1.1 này là một tổng các số hạng là dãy số tự nhiên liên tiếp khá dài, không thể tính toán theo các quy tắc thông thường được, nên phải vận dụng phương pháp giải không mẫu mực do đó: - HS cần biết được cách tính tổng các số hạng trong tổng đã cho bằng cách: Số số hạng = (số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Nhưng trong rất nhiều trường hợp hs thường mắc sai lầm xác định không đúng cho khoảng cách giữa 2 số hạng, hoặc thiếu cộng với 1 (số hạng đầu tiên) - Ở trong cách giải 1, nếu ta thực hiện phép toán giao hoán để viết tổng A = (5 + 2014) + (6 + 2013) + .... ta sẽ có bao nhiêu cặp như vậy, mỗi cặp có giá trị là bao nhiêu? Hs trả lời được nhưng cặp cuối cùng là tổng của 2 số nào? Thì lại vướng mắc nên GV cần định hướng và phân tích cho hs rõ chỗ này. - Ở bài toán này tổng A gồm 2010 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp mỗi cặp có 2 số hạng thì được 1005 cặp thì vừa đủ. Giả sử đối với tổng sau: B =1 + 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 - Ở bài toán này tính tổng B theo cách 1 hs thường bị lúng túng: tổng B gồm 2015 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp mỗi cặp có 2 số hạng thì được 1007 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 1007 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu? đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc. Cần phải hướng dẫn hs đưa về bài toán 1.1 để tính. Có thể làm như sau: B = 1 + 2 + 3 + ... + 2014 + 2015 bằng cách đưa về tính theo cách giải 1 như sau: B = (1 + 2 + 3 + ... + 2014) + 2015 (tính tổng trong ngoặc đơn trước, rồi cộng với hạng tử còn lại) 1
2. - Trong chương trình học lớp 6 các em đã được biết đến bài toán Gauss nên ngoài cách tính tổng A, tổng B nói trên ta có thể tính tổng A như sau: * Cách giải 2: A = 5 + 6 + 7 + ... + 2013 + 2014 + A = 2014 + 2013 + 2012 + ... + 6 + 5 2A = 2019 + 2019 + 2019 +... + 2019 + 2019 (có 2010 số hạng) Ta có: 2A = 2019.2010 A = 2019.1005 = (5+2014).2010:2 = 2029095 b) Đặt vấn đề: Ở bài toán này cả 2 cách giải trên bước cuối ta thấy kêt quả của bài toán đều viết được thành: A = 2019.1005 = 2029095 hay A = (5 + 2014) . 2010 : 2 Khi đó ta có A = (số hạng đầu + số hạng cuối) . số số hạng : 2 (Đối với GV ta có thể chứng minh bài toán tổng quát theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp 6 chỉ cần biết và vận dụng công thức tổng quát cho bài toán loại này) Chứng minh: Tổng quát: An= 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n = n.(n+1) : 2 (n N) - Khi n = 1 ta có: a = 1 (1 + 1) : 2 = 1 đúng. - Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là: Ak = 1 + 2 + 3 + + (k – 1) + k + (k + 1) - Ta xét: Ak + 1 = 1 + 2 + 3 + + (k – 1) + k + (k + 1) = Ak + (k + 1) = k(k+ 1) : 2 + (k + 1) k (k 1) 1 = (k + 1) 1 (k 1) 2 2 (k 1) 1 Nên Ak + 1 = (k + 1) . Tức là bài toán đúng với n = k + 1. 2 Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có: An= 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n = n.(n + 1) : 2 (Ghi chú: Ở bài toán này và các bài toán tổng quát sau ta đều lấy k N) Cách giải 3: Xét A = 5 + 6 + 7 + ... + 2013 + 2014 Ta có số số hạng của tổng là: (2014 – 5) : 1 + 1 = 2010 Áp dụng công thức tổng quát: A = (số hạng đầu + số hạng cuối) . số số hạng : 2 Khi đó: A = (5 + 2014) . 2010 : 2 = 2029095 ĐVĐ từ bài toán 1.1: Tính A = 5 + 6 + 7 + ... + 2013 + 2014 tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp bất kỳ không còn mấy khó khăn đối với học sinh, ta có thể đặt vấn đề khai thác, phát triển sang các bài tập tương tự đối với cách tính tổng các số nguyên cách đều một cách rất tiện lợi. Tôi xin đề cập đến một bài toán có thể khai thác từ bài toán 1 như sau: 2. Bài toán 1.2. Tìm số hạng thứ n trong một dãy số tự nhiên cách đều * Kiến thức cần chú ý: +/ Số số hạng được tính bằng cách: Số số hạng = ( sốhạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 +/ Tìm số hạng thứ n trong một dãy số Số hạng thứ n = (số số hạng - 1) . khoảng cách + số hạng đầu Lưu ý: Số hạng thứ n cần tìm ta hiểu là số hạng cuối trong công thức tìm số số hạng . * VD: Tính tổng: S = 7 + 9 + 11 + ... +97 + 99 a) Tính tổng S trên . b) Tìm số hạng thứ 33 của tổng trên 2
3. Bài giải a) - Nhận xét: + Số hạng đầu là: 7 và số hạng cuối là: 99. + Khoảng cách giữa hai số hạng là: 2 + S có số số hạng được tính bằng cách: (99 – 7 ) : 2 + 1 = 47 - Ta tính tổng S như sau: Cách 1 : S = 7 + 9 + 11 + .. . + 97 + 99 (có 47 số hạng) S = 7 + (9 + 11 + .... + 97 + 99) Ta có: S = 7 + (9 + 99) + (11 + 97) + . + (53 + 55) S = 7 + 108 + 108 + + 108 (có 23 số hạng 108) S = 7 + 108 . 23 = 2491 Cách 2 : theo cách tích tổng của Gauss S = 7 + 9 + 11 +.. . + 97 + 99 S = 99 + 97 + 95 .. . + 9 + 7 ........... 2S = 106 . 47 S = 106 . 47 : 2 = 2491 Cách 3 : Áp dụng Tổng S được tính bằng cách: Tổng S = (số hạng cuối + số hạng đầu) . Số số hạng : 2 Nên : Tổng S có giá trị là: S = (99 + 7) . 47 : 2 = 2491 b) Xét tổng S = 7 + 9 + 11 + ... +97 + 99 - Áp dụng công thức tìm số hạng trong một dãy số Số cuối = (số số hạng - 1) . khoảng cách + số đầu (số cuối là số hạng cần tìm trong tổng các dãy số tự nhiên cách đều) - Số hạng thứ 33 của tổng trên là: (33 – 1 ) . 2 + 7 = 71 * Một số lưu ý khi giải bài toán loại này: - Hs phải biết phân biệt rõ ràng số hạng đầu, số hạng cuối của tổng. - Biết công thức tính số số hạng trong dãy số cách đều, từ đó suy ra được công thức tìm một số hạng thứ n của tổng các số tự nhiên cách đều đã cho. - Hs hiểu được số số hạng trong trường hợp này chính là số hạng thứ n cần tìm. (trong bài trên số số hạng là 33) - Hs dễ bị nhầm số hạng thứ 33 của dãy thành số hạng có giá trị là 33 trong tổng. 3. Bài toán vận dụng Từ bài toán trên hs biết vận dụng làm nhanh và biết được công thức tổng quát của các bài toán sau: Bài 1: a. Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp Tính tổng A1 = 1 + 3 + 5 + 7 + .+ 2015 (Các cách giải tương tự bài toán 1.1) 2 * Tổng quát: An= 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n – 1) = n (n N*) (được hình thành tương tự bài toán 1.1) 2 Chứng minh: Tổng quát: An= 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n – 1) = n (n N*) 2 - Khi n = 1 ta có: An = 1 = 1 (đúng). 3
4. - Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là: 2 Ak = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) = k - Ta xét: Ak + 1 = 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) = (2k + 1) 2 2 = Ak + (2k + 1) = k + (2k + 1) = (k + 1) . 2 Hay Ak + 1 = (k + 1) . Tức là bài toán đúng với n = k + 1. Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có: 2 An = 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n – 1) = n b. Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp Tính tổng A2 = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2014 + 2016 (Các cách giải tương tự bài toán 1.1) * Tổng quát: An = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2n = n (n + 1) (n N*) (được hình thành tương tự bài toán 1.1) Chứng minh Tổng quát: An = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2n = n (n + 1) (n N*) - Khi n = 1 ta có: an = 1.(1 + 1) = 2 (đúng) - Giả sử bài toán đúng với n = k > 1, nghĩa là: Ak = 2 + 4 + 6 + + 2k = k.(k + 1) Ta xét: Ak + 1 = 2 + 4 + 6 + + 2k + 2 (k + 1) = Ak + 2(k + 1) = k.(k + 1) + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1) + 1 Hay Ak + 1 = (k + 1) (k + 1) + 1. Tức là bài toán đúng với n = k + 1. Vậy: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có: An = 2 + 4 + 6 + 8 + + 2n = n (n + 1) c. Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ” Tính tổng A3 = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + 2015 (Các cách giải tương tự bài toán 1.1) n n *Tổng quát:An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + (-1) (2n – 1) = (-1) . n (n N*) (được hình thành tương tự bài toán 1.1) n n Chứng minh Tổng quát: An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + (-1) (2n – 1) = (-1) . n (n N*) 1 - Khi n = 1 ta có; An = -1 = (-1) . đúng. - Giả sử bài toán đúng với n = k + 1, nghĩa là: k k Ak = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + (-1) (2k – 1) = (-1k) .k k k + 1 Ta xét: Ak + 1 = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + .+ (-1) (2k – 1) + (-1) . (2k + 1) k +1 = Ak + (-1) . (2k + 1) = (-1)k. k + (-1)k. (-1).(2k + 1) = (-1)k.(k - 2k – 1) = 9-10k(-k – 1) = (-1)k(-1) (k + 1) k + 1 Hay Ak + 1 = (-1) (k + 1). Tức là bài toán đúng với n = k + 1 Kết luận: Với mọi số tự nhiên n khác 0, ta có: n n An = -1 + 3 – 5 + 7 – 9 + + (-1) (2n – 1) = (-1) . n (Đối với GV ta có thể chứng minh bài toán tổng quát theo phương pháp quy nạp; đối với HS lớp 6 chỉ cần biết và vận dụng công thức tổng quát cho bài toán loại này để làm bài toán thuận tiện hơn) d. Tính tổng dãy số chẵn liên tiếp có đan dấu “+” và “ - ” A4 = 2 – 4 + 6 – 8 + + 2010 – 2012 + 2014 - 2016 A5 = 2 – 4 - 6 + 8 + 10 - 12 – 14 + 16 + .+ 98 – 100 – 102 + 104 4
5. DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU. I. Tính tổng một dãy số của các số có cùng cơ số theo số mũ tăng dần. 1. Bài toán: Tính tổng 0 1 2 3 10 a) B = 2 + 2 + 2 + 2 + + 2 1 2 3 2014 2015 b) B1 = 1 + 2014 + 2014 + 2014 + .+ 2014 + 2014 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng trên. Bài làm a) B = 20 + 21 + 22 + 23 + + 210 Cách giải 1: B = 20 + 21 + 22 + 23 + + 210 = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 1024 = 2047 - Ở bài toán này trong câu a, ta có thể giải cách thông thường, HS có thể tính tổng B theo cách thông thường, tính lũy thừa của từng số hạng rồi cộng các kết quả lại; nhưng câu b ta phải tư duy cách giải phù hợp. (không thể tính trực tiếp như cách 1) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác. Cách giải 2: (Cách giải bài toán không mẫu mực, không tuân thủ theo quy tắc thông thường) HD: - Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? - Ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng. - Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số để được một biểu thức mới rồi thực hiện phép trừ đi biểu thức ban đầu. Ta có: 2B = 21 + 22 + 23 + . + 210 + 211 Mà B = 20 + 21 + 22 + 23 + + 210 11 Vậy 2B – B = 211 - 20 = 2 1 2 1 B = 211 – 1 = 2047 1 2 3 2014 2015 b) B1 = 1 + 2014 + 2014 + 2014 + .+ 2014 + 2014 Tương tự bài toán 1a) theo cách giải 1 ta không tính trực tiếp được, mà phải vận dụng cách giải 2. Ta xét: 1 2 3 4 2015 2016 2014.B1 = 2014 + 2014 + 2014 + 2014 + +2014 + 2014 1 2 3 2014 2015 Mà B1 = 1 + 2014 + 2014 + 2014 + + 2014 + 2014 2016 Nên 2014.B1 – B1 = 2014 - 1 20142016 1 20142016 1 Tính được: B1 = 2014 1 2013 a) Ta có công thức tổng quát cho bài toán này như sau: n 1 0 1 2 3 n a 1 Sn = a + a + a + a + ..+ a = (n N; a 1; a 0). a 1 n 1 0 1 2 3 n a 1 Chứng minh tổng quát: Sn = a + a + a + a + ..+ a = (n N; a 1; a 0). a 1 5
6. Thật vậy: Khi a = 1 ta có ngay Sn = n + 1. 1 2 3 n n + 1 n + 1 Khi a thì: a.Sn = a + a + a + + a + a a.Sn – Sn = a – 1 n + 1 Sn (a – 1) = a – 1 a n 1 1 Vậy tổng Sn có giá trị là: Sn = a 1 n 1 0 1 2 3 a 1 Kết luận: Sn = a + a + a + a + + (n N; a 1; a 0). a 1 Từ bài toán tổng quát này ta có thể vận dụng để giải các bài toán tương tự nhưng tổng có nhều số hạng hơn nhanh chóng thuận tiện và các bài toán liên quan khác. * Một số lưu ý khi dạy bài toán dạng này: - Ta thấy biểu thức cần tính là tổng một dãy số của các số hạng có cùng cơ số, số mũ là dãy số cách đều tăng dần. Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của biểu thức đó với số nào để khi trừ cho biểu thức ban đầu thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? - Trong bài toán như trên ta thấy các số mũ liền nhau cách nhau 1 đơn vị nên ta nhân hai vế với cơ số của lũy thừa trong biểu thức rồi thực hiện phép trừ biểu thức mới cho biểu thức ban đầu ta sẽ tìm được tổng (có thể chỉ để dưới dạng 1 biểu thức) như câu a; câu b; - Đối với các bài tập dạng này Hs nhận biết được cần nhân 2 vế của biểu thức với chính cơ số. 2. Bài tập vận dụng 2 3 4 100 a) Cho B2 = 3 + 3 + 3 + 3 + +3 n Tìm số tự nhiên n biết rằng 2B2 + 3 = 3 3101 3 HD: Tương tự như trên ra có thể tính được B3 = 2 Khi đó: 3101 – 3 + 3 = 3n 3101 = 3n n = 101 2 3 4 n b) Cho B4 = 3 + 3 + 3 + 3 + +3 . Tìm số n sao cho B4 = 3280 2 n Giải: Ta có: B4 = 1 3 3  3 (1) 2 n n 1 3 B4 = 3 3  3 3 (2) Trừ từng vế của biểu thức (2) cho biểu thức (1) ta được: n 1 n 1 2 B4 3 1 => B4 3 1 : 2 n 1 n 1 8 Mà B4 = 3280 nên 3 1 : 2 3280 => 3 6561 3 Lập luận để tính n = 7 2 3 4 2013 2014 2015 2016 c) Tính tổng B5= 3 – 3 + 3 – 3 + +3 – 3 + 3 - 3 2 3 4 5 2014 2015 2016 2017 Ta có: 3.B5 = 3 – 3 + 3 – 3 + + 3 – 3 + 3 – 3 2017 Nên 3B5+ B5 = 3 - 3 3 32017 Vậy B5 = 4 Hs có thể vận dụng cách làm của bài toán 1 để giải các bài toán này không gặp mấy khó khăn. II. Tính tổng các tích của các cặp số nguyên cách đều 1. Bài toán 2.1: 6
7. a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .+ 99.100 + 100.101 c) Hãy viết công thức tổng quát cho tổng trên? Bài làm a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải 1: Hs dễ dàng thực hiện phép giải thông thường A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 +90 = 330 Nhưng cách giải này không thể áp dụng cho câu b) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác. Lời giải 2: 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + .... + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 9.10.(10 + 1) Vậy A = 9.10.(10+1) : 3 = 990 : 3 = 330 Nhận xét: - Trong tổng trên mỗi hạng tử đều là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp, các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa số của tích là 1, ta đã nhân cả hai vế của A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số. Nhân phá ngoặc để tính được kết quả cần tìm. - Một cách khác Trong bài toán 2.1a) ta nhân 2 vế của A với 3(để được tích của 3số liên tiếp của số hạng đầu tiên) ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt, để có kết quả bài toán cần tìm. - Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa số lớn. ĐVĐ: Ta có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau: Lời giải 3 : Ta có 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11 Vậy A = 9.10.(10+1) : 3 = 990 : 3 = 330 Nhận xét: Trong cách giải trên hình như số 3 ta nhân vào cả 2 vế là thừa? Đúng là vậy, nhưng ở đây ta nhân hai vế với 3 để kết quả cuối cùng có thể đưa về công thức tính tổng quát mà ta đang cần tìm. b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .+ 99.100 + 100.101 Tương tự cách giải 2 ta làm câu b thật dễ dàng. Ta xét: 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 + 100.101.3 3B = 1.2. (3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4. (5 – 2) + .. + 99.100.(101 - 98) + 100.101.(102 - 99) = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102 Vậy B = 100.101.102 : 3 = 100.101.34 = 343400 7
8. Nhận xét: Trong câu b này, nếu giải theo cách giải 3 vẫn được, nhưng gặp khó khăn ở chỗ việc tính tổng các bình phương của dãy số cách đều sẽ gặp khó khăn, bài toán này sẽ được giải quyết ở phần tiếp theo. - Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa số lớn. c) Bài toán tổng quát: n(n 1)(n 2) * An = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n (n + 1) = (n N ) 3 n(n 1(n 2) * Chứng minh tổng quát: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n (n + 1) = (n N ) 3 Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh. Bước 1. Với n = 1. Vế trái = 1.2 = 2. Vế phải = 1.(1 + 1)(1+2) : 3 = 2 Suy ra vế trái bằng vế phải. Vậy bài toán đúng với n = 1. Bước 2. Giả thiết bài toán đúng với n = k ( k > 1) tức là ta đã có: k(k 1)(k 2) Bk = 1.2 + 2.3 + .+ (k + 1) (k + 2) = 3 Bước 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 tức là chứng minh (k 1)(k 2)(k 3) Bk+1 = 1.2 + 2.3+ + (k + 1)(k+2) = 3 k(k 1)(k 2) Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1)(k + 2) = + (k + 1)(k + 2) 3 k (k 10(k 2)(l 3) Bk + 1 = (k + 1)(k + 2) 1 3 3 n(n 1)(n 2) * Kết luận: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4+ + n(n + 1) = (n N ) 3 2. Bài toán 2.2: a) Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 b) Hãy viết công thức tổng quát của bài toán này. Lời giải : a)Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải 1: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = 6 + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720 = 1980 Lời giải 2 : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 A = 8.9.10.11 : 4 = 1980. Nhận xét: - Tương tự trong bài toán 2.1a. trong mỗi hạng tử đều là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp, các hạng tử được viết theo quy luật, khoảng cách giữa hai thừa số của tích là 1, ta đã nhân cả hai vế của A với 4 lần khoảng cách giữa hai thừa số.Nhân phá ngoặc để tính được kết quả cần tìm. ) 8
9. - Một cách khác: bài toán này ta nhân 2 vế của A với 4 (để được tích của 4 số liên tiếp của số hạng đầu tiên) để ta có thể tách thành các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt, để có kết quả bài toán cần tìm. - Vậy trong cách giải bài toán 2.1a; 2.2a ta đã đi nhân 2 vế của biểu thức với 1 số xác định là: (số các thừa số của tích + 1). Khoảng cách giữa hai thừa số. - Kết quả của bài toán chính là tích của hạng tử cuối cùng với số liền sau của thừa số lớn. ĐVĐ: Ta có thể giải bài toán này bằng cách khác như sau: b) Quan sát kết quả bài toán trên ta có công thức tổng quát A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + (n – 1).n.(n + 1).= (n -1).n.(n + 1)(n + 2) : 4 - Bài toán tổng quát 2.1b); 2.2b) sẽ giúp hs có cách tìm được kết quả đúng nhanh chóng nhất đối với các bài toán dạng này mà số hạng tử của tổng nhiều hơn nữa.. 3. Bài toán 2.3. Tính tổng các bình phương của dãy số cách đều. 2 2 2 2 2 a) Tính tổng C1 = 1 + 2 + 3 + +9 + 10 2 2 2 2 2 b) Tính tổng C2 = 1 + 2 + 3 + +99 + 100 c) Viết công thức tổng quát của bài toán trên. Bài làm 2 2 2 2 2 a) Tính tổng C1 = 1 + 2 + 3 + +9 + 10 Cách 1.Giải theo quy tắc thực hiện thứ tự phép tính 2 2 2 2 2 C1 = 1 + 2 + 3 + +9 + 10 C1 = 1 + 4 + 9 + + 81 + 100 = 385 Cách 2. (giải bài toán không mẫu mực). 2 2 2 2 2 C1 = 1 + 2 + 3 + + 9 + 10 C1 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + . + 9.9 + 10.10 C1 = 1 (2 - 1) + 2(3 – 1) + 3 (4 – 1) + + 9(10 – 1) + 10 (11 – 1) = 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + + 9.10 – 9 + 10.11 – 10 = (1.2 + 2.3 + 3.4+ + 9.10 + 10.11) – (1 + 2 + 3 + 4 + + 9 + 10) Ta thấy: 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 9.10 + 10.11 = 10.11.12: 3 = 440 ( vận dụng bài toán 3.1 dạng 2) 1 + 2 + 3 + .+ 10 = (10+1).10 : 2 = 55 ( vận dụng bài toán 1 dạng 1) 10.11.(10.2 1) Do đó C1 = 440 – 55 = 385 = 6 Nhận xét: - Bài toán 2.3 này thực ra là bài toán vận dụng( trường hợp đặc biệt của bài toán 2.1 vì mỗi hạng tử là tích của 2 thừa số giống nhau; - Dùng biện pháp tách 1 số hạng để có thể sử dụng kết quả các bài toán - Kết quả của bài toán cũng liên quan chặt chẽ với cơ số của hạng tử cuối cùng. Cách 3. Dùng kiến thức lớp 8 để giải bài toán này. Khai thác theo hướng sử dụng hằng đẳng thức: (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 Với x = 1 ta có 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1. Với x = 2 ta có 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1. Với x = 3 ta có 43 = 33 + 3.32 + 3.3 + 1. .. Với x = 9 ta có 103 = 93 + 3.92 + 3.9 + 1. Với x = 10 ta có 113 = 103 + 3.102 + 3.10 + 1 9
10. Cộng vế với vế của 10 đẳng thức trên ta được: 23 + 33 + . + 93 + 103 + 113 = 13 + 23 + 33 + + 93 +103 + 3(12 + 22 + 32+ + 92 + 102) + 3 (1 + 2 + 3 + 4 + .+9 + 10) + (1 + 1 + 1 + .+ 1) (10 số hạng 1) 3 3 11 = 1 + 3.C1 + 3.55 + 10 1331 = 3.C1 + 176 3.C1 = 1331 – 176 = 1155 10.11.(10.2 1) C1 = 385 = 6 2 2 2 2 2 b) Tính tổng C2 = 1 + 2 + 3 + +99 + 100 Dùng biện pháp tách 1 số hạng để có thể sử dụng kết quả bài toán 2 và bài toán trên ta tiến hành như sau: 2 2 2 2 2 C2 = 1 + 2 + 3 + +99 + 100 C2 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + . + 99.99 + 100.100 C2 = 1 (2 - 1) + 2(3 – 1) + 3 (4 – 1) + + 99(100 – 1) + 100 (101 – 1) = 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 + + 99.100 – 99 + 100.101 – 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4+ + 99.100 + 100.101) – (1 + 2 + 3 + 4 + + 99 + 100) Ta thấy: 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 + 100.101 = 100.101.102: 3 = 343400(bài toán 3.1dạng 2) 1 + 2 + 3 + .+ 100 = 101.50 = 5050 ( bài toán 1 dạng 1) 100.101.(100.2 1) Do đó C2 = 343400 – 5050 = 338350 = 6 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) *) c) Ta có công thức tổng quát: En = 1 + 2 + 3 + +n = ( n N 6 2 2 2 2 n(n 10(2n 1) *) Chứng minh tổng quát: En = 1 + 2 + 3 + +n = ( n N 6 Chứng minh tương tự cách 3. Với x = n ta có (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n3 + 1) + (3n2 + 3n) Cộng n đẳng thức và rút gọn các hạng tử bằng nhau ở hai vế, ta có: 3 (n + 1) = n + 1 + 3En + 3 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n Ta có 1 + 2 + 3 + + (n – 1) + n = n (n + 1) : 2 3 3n(n 1) 2 3n Suy ra 3En = (n + 1) – (n + 1) - (n 1) (n 1) 1 2 2 2n 2 4n 2 2 3n n(n 1)(2n 1) = (n + 1) 2 2 n(n 1)(2n 1) Vậy En = 6 n(n 1)(2n 1) Nghĩa là: 12 + 22 + 32+ + n2 = ( n N*) 6 Ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh bài toán tổng quát trên. Bước 1. Với n = 1 bài toán đúng. Bước 2. Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta đã có: 12 + 22 + 32 + .+ k2 = k(k 1)(2k 1) 6 10
11. Bước 3: Ta phải chứng minh bài toán đúng nới n = k + 1 nghĩa là: 12 + 22 + 32 + ..+ k2 + (k + 1)2 = (k 1((k 2)(2k 3) 6 k(k 1)(2k 1) k(2k 1 Thật vậy: VT = + (k + 1). k 1 6 6 2k 2 k 6k 6 2k(k 2) 3(k 2) = (k 1). (k 1). 6 6 (k 1)(l 2)(2k 3) = VP 6 n(n 1)(2n 1) Kết luận: 12 + 22 + 32 + + n2 = ( n N*). 6 * Một số lưu ý khi giải bài toán 4 trong dạng này theo cách giải không mẫu mực: - Trong bài toán 2.3a; 2.3b là bài toán tổng các bình phương của dãy số tự nhiên cách đêù và ta có thể viết thành tích để ta có thể tách một thừa số của một hạng tử thành một hiệu để khi ta nhân các hạng tử mà có thể triệt tiêu hàng loạt giống như ở bài toán 2.2 - Bài toán tổng quát 2.3c) sẽ giúp hs có cách tìm được kết quả đúng nhanh chóng nhất. 4. Bài tập vận dụng Bài 1: a. Tính tổng A = 1.100 + 2.99 + 3.98 + +99.2 + 100.1 Ta biến đổi các số từ 99 đến 1 thành hiệu của 100 với các số từ 1 đến 99 C = 1.100 + 2.(100-1) + 3(100-2) + + 99.(100-98)+ 100.(100 – 99) = 1.100 + 2.100 – 2.1 + 3.100 – 3.2 + +99.100 – 98.99 + 100.100 – 99.100 = 100 . (1 + 2 + 3 + +99 + 100) – (1.2 + 2.3 + + 98.99 + 99.100) = (100.5050) – (99.100.101) : 3 = 50.100 . 101 – 100 . 101 . 33 = 100 .101 (50-33) = 10100.17 = 171700 b. Tính tổng B = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + +99.101 + 100.102 Ta cần tách mỗi số hạng thành tổng của hai số tự nhiên để có thể áp dụng bài toán 3 và bài toán Gaux (tính tổng 100 số tự nhiên khác 0 đầu tiên) S = 1 (2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + + 99(100 + 1) + 100 (101 + 1) = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3+ + 99.100 + 99 + 100.101 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4+ + 99.100 + 100.101) + (1 + 2 + 3 +..+ 99 + 100) = 343400 + 5050 = 348450 c. Tính tổng : C = 1.3 + 3.5 + 5.7 + + 97.99 Nhận xét : Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhân hai vế của C với 3 lần khoảng cách này ta được : 6C = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + + 97.99.101 - 95.97.99 = 3 + 97.99.101 1 97.33.101 C = 161 651 2 11
12. d. Tính tổng : D = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 D = 1.3.5 + 3.5.7 + + 5.7.9 + + 95.97.99 Giải : 8D = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101 D= (15 + 95.97.99.101) : 8 = 11 517 600 Trong bài này ta nhân D với 8 (4 lần khoảng cách) vì mỗi hạng tử của D cũng có 3 thừa số. Bài 2: a. Biết rằng 12 + 22 + 32 + + 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng S = 22 + 42 + 62 + + 202 (Trang 23 SGK Toán 7 tập 1) Lời giải Ta có: S = 22 + 42 + 62 + + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.10)2 = 12.22 + 22.22 + 22.32 + + 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + + 102) = 4.385 = 1540. b. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: Áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + + 29 + 210 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + + 29) = 210 - 1 hay A = 210 - 1 Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A 12
13. * Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn. c. Cho các tổng sau: 1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 . Chứng minh rằng A  8 Hướng dẫn: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 + 3102 A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + ... + 3100 Ta có: 32A – A = 3102 – 1 . Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 . Vậy A = ( 3102 – 1)  8 2) B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 . Chứng minh rằng B  48 Tương tự như trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta được : 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 + 7101 B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + ... + 799 72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 . Vậy B = ( 7101 – 7) : 48 Tương tự như trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48. 13