Đề thi chọn Học sinh giỏi Toán 6 cấp Thị xã - Năm học 2022-2023 - UBND Thị xã Hoài Nhơn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi Toán 6 cấp Thị xã - Năm học 2022-2023 - UBND Thị xã Hoài Nhơn (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN KỲ THI CHỌN HSG CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2022-2023 MÔN TOÁN 6 Câu 1. (4 điểm) 10 10 10 10 a) Tính tổng A ...... 56 140 260 1400 1 2 3 2021 1 1 1 1 b) Tính giá trị biểu thức B 2021 ...... : .... 4 5 6 2024 12 15 18 6072 Câu 2. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên x, y biết 2xy 6x y 15 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết : 1 2 3 ..... n aa Câu 3. (4 điểm) a) Chứng minh với k N *ta luôn có k k 1 k 2 k 1 k k 1 3k k 1 Áp dụng tính tổng S 1.2 2.3 3.4 ..... 2021.2022 1 2 3 2021 2022 3 b) Chứng minh rằng B ..... 3 32 33 32021 32022 16 Câu 4. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2020x 4088483 2022 y b) Hai người đi xe đạp từ hai địa điểm A và B và đi ngược chiều nhau. Người đi từ A xuất phát lúc 7 giờ, người đi từ B xuất phát lúc 7 giờ 12 phút. Để đi hết quãng đường AB, người đi từ A cần 3 giờ, còn người đi từ B cần 4 giờ. Hỏi đến mấy giờ thì hai người gặp nhau. Câu 5. (4 điểm) Cho ABC có cạnh BC =10cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 2BM = 3MC . a) Tính độ dài các đoạn thẳng MB và MC. b) Vẽ tia phân giác Mx của AMB và tia phân giác My của AMC . Chứng tỏ rằng x·My =90° c) Trên cạnh BC vẽ thêm 2021 điểm khác điểm B, C, M . Hỏi vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là A
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (4 điểm) 10 10 10 10 c) Tính tổng A ...... 56 140 260 1400 Ta có : 10 10 10 10 2.10 2.10 2.10 2.10 A ...... ..... 56 140 260 1400 2.56 2.140 2.260 2.1400 20 20 20 20 20 20 20 20 ..... ....... 112 280 520 2800 8.14 14.20 20.26 50.56 10 6 6 6 10 1 1 1 1 1 1 . ..... . ..... 3 8.14 14.20 50.56 3 8 14 14 20 50 56 10 1 1 5 . 3 8 56 14 d) Tính giá trị biểu thức 1 2 3 2021 1 1 1 1 B 2021 ...... : .... 4 5 6 2024 12 15 18 6072 Ta có : 1 2 3 2021 1 1 1 1 B 2021 ...... : .... 4 5 6 2024 12 15 18 6072 1 2 2021 1 1 1 1 1 ...... 1 : ..... 4 5 2024 3.4 3.5 3.2024 3 3 3 1 1 1 1 ..... : . ..... 4 5 20204 3 4 5 2024 1 1 1 1 1 1 1 3. ..... . . ..... 3.3 9 4 5 2024 3 4 5 2024 Câu 2. (4 điểm) c) Tìm số tự nhiên x, y biết 2xy 6x y 15 2xy 6x y 15 2x y 3 y 3 12 y 3 2x 1 12 12.1 4.3(do 2x 1le) y 3 12 4 2x 1 1 3 y 15 7 x 0 1
3. Vậy x; y (0;15);(1;7) d) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết : 1 2 3 ..... n aa n n 1 1 2 3 ..... n 11.a n n 1 11.2a 2 Vì a là số tự nhiên có 1 chữ số khác 0 và n n 1 là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên a 6 a 6 n n 1 11.12 n 11 . Vậy n;a 10;5 ; 11;6  a 5 a 5 n(n 1) 10.11 n 10 Câu 3. (4 điểm) c) Chứng minh với k N *ta luôn có k k 1 k 2 k 1 k k 1 3k k 1 Áp dụng tính tổng S 1.2 2.3 3.4 ..... 2021.2022 Với k N*, k k 1 k 2 k 1 k k 1 k(k 1)(k 2 k 1) 3k k 1 * S 1.2 2.3 3.4 ..... 2021.2022 3S 1.2.3 2.3.(4 1) 3.4.(5 2) ...... 2021.2022.(2023 2020) 3S 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 .... 2021.2022.2023 2020.2021.2022 2021.2022.2023 S 3 1 2 3 2021 2022 3 d) Chứng minh rằng B ..... 3 32 33 32021 32022 16
4. 1 2 3 2021 2022 1 2 3 2021 2022 B 2 3 ..... 2021 2022 3B 3. 2 3 ..... 2021 2022 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 2021 2022 2 3 4 5 2021 2022 3B 1 .... 1 .... 3 32 33 32021 32022 3 32 33 34 32020 32021 1 1 1 1 1 2022 B 3B 1 ...... 3 32 33 32020 32021 32022 1 1 1 1 1 2022 4B 1 2 3 ...... 2020 2021 2022 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Xet C 1 2 3 ...... 2020 2021 3C 3. 1 2 3 ...... 2020 2021 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 3 C 3C 3 4C 3 4C 3 C 32021 32021 4 3 2022 3 3 4B 4B B 4 32022 4 16 Câu 4. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên x, y biết: 2020x 4088483 2022 y Từ 2020x 4088483 2022 y suy ra 2022 y 4088483 1 y 1 2022 y là số chẵn. Suy ra 2020x 4088483là số chẵn. Mà 4088483 là số lẻ nên 2020x là số lẻ x 0 Khi đó ta có: 2022 y 20200 4088483 1 4088483 4088484 2022 y 20222 y 2 Vậy x=0 và y=2, b) Hai người đi xe đạp từ hai địa điểm A và B và đi ngược chiều nhau. Người đi từ A xuất phát lúc 7 giờ, người đi từ B xuất phát lúc 7 giờ 12 phút. Để đi hết quãng đường AB, người đi từ A cần 3 giờ, còn người đi từ B cần 4 giờ. Hỏi đến mấy giờ thì hai người gặp nhau. Để đi hết quãng đường AB, người đi từ A cần 3 giờ, người đi từ B cần 4 giờ nên sau 1 giờ người đi từ 4 đi được 1 (quãng đường), người đi từ B đi được 1 (quãng 3 4 1 1 7 đường), cả hai người đi được (quãng đường). 3 4 12 1 1 1 1 12 phút = h, người đi được 1 A đi được . (quãng đường). 5 5 3 15
5. Do đó, kể từ lúc người đi từ B xuất phát (lúc 7 giờ 12 phút) cho đến khi hai người 1 14 gặp nhau thì cả hai người cần đi hết 1 (quãng đường). 15 15 14 14 7 8 Thời gian để hai người đi hết quãng đường là : (giờ) hay 1 giờ 36 phút. 15 15 12 5 Vậy đến 8 giờ 48 phút thì hai người gặp nhau. Câu 5. (4 điểm) Cho ABC có cạnh BC =10cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 2BM = 3MC . y A x C M B a) Tính độ dài các đoạn thẳng MB và MC. Ta có 2MB = 3MC nên tỉ số giữa MB và MC là 3 2 Mà MB+MC = BC ( M nằm giữa hai điểm. B và C ) nên MB+MC =10(cm). Ta có: MB=10:(2+3).3=6(cm) =MC=10–6=4(cm). Vậy MB=6cm; MC = 4cm. b) Vẽ tia phân giác Mx của AMB và tia phân giác My của AMC . Chứng tỏ rằng x·My =90° 1 Vì tia Mx là tia phân giác của ·AMB nên x·MA B· MA . 2 1 Vì tia My là tia phân giác của ·AMC nên ·AMy ·AMC . 2
6. 1 1 1 1 1 Ta có: x·My x·MA ·AMy B· MA ·AMC B· MA ·AMC .B· MC .180 90 2 2 2 2 2 c) Trên cạnh BC vẽ thêm 2021 điểm khác điểm B, C, M . Hỏi vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là A Nếu vẽ thêm 2021 điểm khác B,C, M ta có 2024 điểm phân biệt Mỗi đoạn thẳng bất kỳ trên cạnh BC tạo với A một tam giác đỉnh A Nối điểm M với mỗi điểm bất kì trong số 2023 điểm còn lại trên đoạn thẳng BC ta được 1 đoạn thẳng nên có 2023 đoạn thẳng nhận điểm M là một đầu mút. Có 2024 điểm như điểm M nên có thẳng sẽ được tính hai lần. Suy ra có 2024.2023 1012.2023 đoạn thẳng trên cạnh BC 2 Vậy có tất cả 1012.2023 tam giác đỉnh A thỏa mãn yêu cầu bài toán