Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Cụm - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Định (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Cụm - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Yên Định (Có đáp án)

1. PHÒNG GD VÀ ĐT YÊN ĐỊNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CÁP CỤM NĂM HỌC 2022-2023, MÔN: TOÁN 6 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (5 điểm) 1. Thực hiện phép tính: A=1+2-3-4+5+6-7-8+9+...+2018-2019-2020. 2. Tỉnh tổng A=1.2+2.3+3.4+...+2013.2014. Câu 2. (2 điểm) 1. Tìm x biết 2x 1 2x 2x 1 112 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 6xy–10x+3y=12 3. Tìm các số a,b,c không âm, sao cho a+3c=8, a+2b=9 và tổng a+b+c có giá trị lớn nhất. Câu 3. - điểm) 1. Cho S 5 52 53 54 ..... 52016 Chứng tỏ rằng S chia hết cho 65. 2. Cho a là một hợp số, khi phân tích ra các thừa số nguyên tố chi chứa hai thừa số 3 2 nguyên tố khác nhau là p1, p2 Biết a có tất cả 40 ước, hỏi a có bao nhiêu ước? Câu 4. (6 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho Al = 4cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2cm . a) Chứng tỏ rằng điểm I nằm giữa A và K. b) Tính IK . 2014 2. Cho AB 2 cm . Gọi C1 là trung điểm của AB ; Gọi C2 là trung điểm của AC1 ; Gọi C3 là trung điểm của AC2 ;....;C2014 là trung điểm của AC2013.Tính C1C2014 3. Cho 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thăng hàng, cử qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng.Hỏi có tất cả bao nhiều đường thăng? Câu 5. (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên a và b thỏa mãn 100a 3b 1 2a 10a b 225
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (5 điểm) 1. Thực hiện phép tính: A=1+2-3-4+5+6-7-8+9+...+2018-2019-2020. Từ 1,2,3,...,2020có 2020 số. Nhóm 4 số thành 4 nhóm ta được : 2020 : 4 505 (nhóm) Ta có : A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2018 2019 2020. 1 2 3 4 5 6 7 8 ..... 2017 2018 2019 2020 A ( 4).505 2020 2. Tính tổng A=1.2+2.3+3.4+...+2013.2014. 3A 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... 2013.2014.3 3A 1.2.3 2.3. 4 1 3.4.(5 2) ...... 2013.2014.(2015 2012) 3A 1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ..... 2013.2014.2015 2012.2013.2014 3A 2013.2014.2015 A 2723058910 Câu 2. (2 điểm) 1. Tìm x biết 2x 1 2x 2x 1 112 2x 1 2x 2x 1 112 2x 1 2x 1.2 2x 1.4 112 2x 1.7 112 2x 1 16 24 x 1 4 x 5 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 6xy–10x+3y=12 6xy – 10x 3y 12 2x 3y 5 3y 5 7 2x 1 3y 5 7 2x 1 1 7 1 7 3y 5 7 1 7 1 x 0 3 1 4 2 4 y 4 2 (l) (l) 3 3 Vậy các cặp số x; y là 0;4 , 3;2 3. Tìm các số a,b,c không âm, sao cho a+3c=8, a+2b=9 và tổng a+b+c có giá trị lớn nhất. Từ a 3c 8,a 2b 9 2a 2b 3c 17 2 a b c c 17 1 Để a b c lớn nhất thì c nhỏ nhất, mà c 0 c 0 . Khi đó a 8,b 2
3. 17 Giá trị lớn nhất của a b c 2 Câu 3. - điểm) 1. Cho S 5 52 53 54 ..... 52016 Chứng tỏ rằng S chia hết cho 65. Ta có: 5 52 53 54 5 53 5 5 53 130 5.130 5 52 53 54 130 S 5 52 53 54 54 5 52 53 54 ..... 52012 5 52 53 54 Tổng trên có 504 số hạng nên chia hết cho 130 S130 S65 2. Cho a là một hợp số, khi phân tích ra các thừa số nguyên tố chi chứa hai thừa số nguyên 3 2 tố khác nhau là p1, p2 Biết a có tất cả 40 ước, hỏi a có bao nhiêu ước? m m 3 3m 3n 3 Ta có : a p1 .p2 a p1 .p2 . Số ước của a là 40 nên ta có : m 1;n 3 3m 1 3n 1 40 m 3;n 1 2 2m 2n Số a p1 .p2 có số ước là 2m 1 2n 1 3.7 21 Câu 4. (6 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho Al = 4cm. Trên tia BA lấyđiểm K sao cho BK = 2cm . a) Chứng tỏ rằng điểm I nằm giữa A và K. b) Tính IK . B A I K a) Ta có: điểm K và 4 cùng thuộc tia BA mà BK < BA (vì 2cm<7cm ) nên điểm K nằm giữa A và B. ⇒AK + KB = AB Thay số: 4K+2=7 AK=7-2=5 (cm) Vậy AK =5cm. Mà AI=4cm nên AI < AK, mà hai điểm I và K cùng thuộc tia AB nên điểm I nằm giữa hai điểm A và K.
4. b) Do điểm I nằm giữa hai điểm A và K nên ta có: AI+IK = AK Thay số: 4 + IK =5 IK = 5-4=1(cm) Vậy IK = 1cm 2014 2. Cho AB 2 cm . Gọi C1 là trung điểm của AB ; Gọi C2 là trung điểm của AC1 ; Gọi C3 là trung điểm của AC2 ;....;C2014 là trung điểm của AC2013.Tính C1C2014 AB 22014 Vì C là trung điểm của AB nên AC 22013 1 1 1 2 2 AC AB Vì C là trung điểm của AC nên AC 1 2 2 1 2 2 22 . AB 22014 Vì C là trung điểm của AC nên AC 1 2014 3 2013 2014 22014 22014 Từ (1), (2), ..(2014) suy ra C2014 nằm giữa A và C1 2023 Do đó AC2014 C1C2014 AC2014 C1C2014 2 1 3. Cho 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thăng hàng, cử qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng.Hỏi có tất cả bao nhiều đường thăng? Chia 100 điểm thành 2 tập hợp: tập hợp 4 gồm 3 điểm thẳng hàng và tập hợp B gồm 97 điềm còn lại. Sổ đường thẳng đi qua các điểm thuộc tập hợp A là 1 đường thẳng. . Số đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc tập hợp B là: 97.96 = 4656 đường thẳng Số đường thẳng đi qua 1 điểm thuộc tập hợp Avà 1 điểm thuộc tập hợp B là: 3.97 = 291 đường thẳng. Vậy số đường thẳng đi qua 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng 1+4656+291 = 4948 đường thẳng. Câu 5. (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên a và b thỏa mãn 100a 3b 1 2a 10a b 225 Ta có : 100a 3b 1 2a 10a b 225 1 Vì 225 là số lẻ nên 100a 3b 1và 2a 10a b cùng là số lẻ (2) Th1: a 0 1 3b 1 1 b 225 32.52 Vì 3b 1chia 3 dư 1 và 3b 1 1 b 3b 1 1 b 25.9 3b 1 25 b 8 1 b 9 Th2: Với a là số tự nhiên khác 0
5. Khi đó 100a là số chẵn, Từ 2 3b 1là số lẻ nên b chẵn 2a 10a b là số chẵn, trái với (2) Vậy a 0,b 8