Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hưng Hà (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG HÀ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023 _ MÔN TOÁN 6 Câu 1. (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : a)A 1.2.3.....9 1.2.3....8 1.2.3......82 3 5 7 15 19 b)B 1.4 4.9 9.16 16.31 31.50 Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho S 1 3 32 33 ...... 398 399 . Tính S và tìm số dư khi chia 3100 cho 4 x 3 1 b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho 9 y 18 c) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng tỏ rằng A – B là một số chính phương Câu 3. (3,0 điểm) x x 1 x 2 15 a) Tìm số tự nhiên x biết 5 .5 .5 1000....000 : 2 15chu so 12n 1 b) Chứng tỏ rằng là phân số tối giản với một số nguyên n 30n 2 Câu 4. (3,0 điểm) a) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Hỏi số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 3n 6 là số nguyên tố Câu 5. (5,0 điểm) a) Vẽ tia Ax.Trên tia Ax xác định hai điểm B,C sao cho B nằm giữa A và C và AC 8cm, AB 3BC.Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC b) Cho x· Oy 120, x· Oz 50 . Tính ·yOz c) Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng . Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng ? Câu 6. Cho m,n,t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn m n n t a a N * . Chứng minh rằng a6
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau : a)A 1.2.3.....9 1.2.3....8 1.2.3......82 A 1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3.....7.8.0 0 3 5 7 15 19 b)B 1.4 4.9 9.16 16.31 31.50 1 1 1 1 1 1 1 1 49 ...... 1 4 4 9 31 50 1 50 50 Câu 2. (4,0 điểm) d) Cho S 1 3 32 33 ...... 398 399 . Tính S và tìm số dư khi chia 3100 cho 4 S 1 3 32 33 ...... 398 399 3S 3 32 ....... 3100 1 3100 S 3S 1 3100 S 4 34 1 mod 4 3100 1(mod 4) 3100 : 4 du 1 x 3 1 e) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho 9 y 18 x 3 1 3 2x 1 2x 1 y 54 1.54 3.27 9.6 27.3 9 y 18 y 18 2x 1 1 3 9 27 x 1 2 5 14 y 54 18 6 2 Vay (x; y) 1;54 ; 2;18 ; 5;6 ; 14;2  f) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng tỏ rằng A – B là một số chính phương A B 111...111 222...22 111..1.10000...001 2.111..1 111..1 10000...001 2     100cs1 50cs 2 50cs1 49chu so0 50cs1 50cs1 49chu so0 1111...11.999...999 1 11..1.3.333...33 333...33.333...33 50 cs1 50chu so9 50cs1 50cs3 50cs3 50cs3 Vậy A – B là số chính phương Câu 3. (3,0 điểm) x x 1 x 2 15 c) Tìm số tự nhiên x biết 5 .5 .5 1000....000 : 2 15chu so
3. x x 1 x 2 15 3x 3 15 5 .5 .5 1000....000 : 2 5 5 3x 3 15 x 4 15chu so 12n 1 d) Chứng tỏ rằng là phân số tối giản với một số nguyên n 30n 2 d UCLN(12n 1;30n 2) d Z 12n 1d 60n 5d 1d d 1 30n 2d 60n 4d 12n 1 Suy ra là phân số tối giản 30n 2 Câu 4. (3,0 điểm) c) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Hỏi số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? Gọi số cần tìm là x x N Số đó chia cho 7 dư 5 nên x 7a 5 a N Số đó chia cho 13 dư 4 nên x 13b 4 b N Do đó x 9 7a 147, x 9 13a 1313 x 9 91 x 9 91k x 91k 9 91k 91 82 91(k 1) 82 Vậy x chia cho 91 dư 82 d) Tìm tất cả các số tự nhiên n để 3n 6 là số nguyên tố n 0 3n 6 7(tm) n 1 3n 6 9(ktm) n 2 n 2k 32k 6 9k 63(ktm) n 2k 1 32k 1 6 3.32k 63 ktm Vậy n 0 thì 3n 6 là số nguyên tố Câu 5. (5,0 điểm) d) Vẽ tia Ax.Trên tia Ax xác định hai điểm B,C sao cho B nằm giữa A và C và AC 8cm, AB 3BC.Tính độ dài đoạn thẳng AB, BC A B C Vì điểm B nằm giữa hai điểm A và C nên
4. AB BC AC 3BC BC 8 BC 2cm, AB 6cm e) Cho x· Oy 120, x· Oz 50 . Tính ·yOz z y O x Th1: Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy Nên x· Oz ·yOz x· Oy 50 ·yOz 120 ·yOz 70 Th2 : Tia Ox nằm giữa hai tia Oz, Oy y x z x· Oz x· Oy ·yOz hay 50 120 ·yOz ·yOz 170 f) Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng . Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng ? 20. 20 1 Trong 20 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 190 (đường 2 thẳng)
5. 7.6 Trong 7 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng vẽ được : 21(đường thẳng) 2 Vì 7 điểm thẳng hàng, nên qua 7 điểm chỉ vẽ được 1 đường thẳng nên số đường thẳng giảm đi là : 21 1 20 (đường thẳng ) Vậy số đường thẳng vẽ được là : 190 20 170 (đường thẳng) Câu 6. Cho m,n,t là ba số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn m n n t a a N * . Chứng minh rằng a6 m n2 Ta có m,n,t là 3 số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra m,n,t lẻ a2 n t2 n t a Ta có m n n t a a N * m t 2a a 3g 1 m 3(k 2g 1)(ktm) Th1:t 3k 1 k N a 3g 2 n 3(k g 1)(ktm) a 3g 1 n 3k 2 3g 1 3(k g 1)(ktm) Th2 :t 3k 2 k N a 3g 2 m 3k 2 2(3g 2) 3(k 2g 2)(ktm) Vậy a3 Vậy a chia hết cho 6