Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Thành phố Sầm Sơn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 - Năm học 2022-2023 - Thành phố Sầm Sơn (Có đáp án)

1. ĐỀ HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ SẦM SƠN MÔN TOÁN 6 Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính : 2 3 a)A 3. 5. 5 2 :11 16 2021 5 5 10 2 6 10 b)B : : 7 11 3 7 11 3 3 8 899 c)C . ...... 22 32 302 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Tìm x biết : a) 2x 3 4.52 103 b) 2x 1 4x 2 .... 400x 200 5 10 ..... 1000 5 y 1 2) Tìm các số nguyên x, y sao cho x 3 6 Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố p sao cho p 2; p 6; p 8; p 14 đều là số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n 1và 3n 1là các số chính phương c) Tìm chữ số a và số nguyên x , sao cho 12 3x 2 1a96 Câu 4. (6,0 điểm) Cho góc xBy 55 . Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A,C A B,C B . Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD 30 a) Tính độ dài AC, biết AD 4cm,CD 3cm b) Tính số đo của góc DBC c) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz 90 . Tính số đo ABz Câu 5. (2,0 điểm) 3 1 1 1 1 4 a) Chứng minh rằng ....... 5 31 32 33 60 5 b) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng a3 b3 c3 3abc và a2 2 b c
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính : 2 3 a)A 3. 5. 5 2 :11 16 2021 3. 5.33:11 16 2021 3. 5.3 16 2021 3.( 1) 2021 2018 5 5 10 2 6 10 b)B : : 7 11 3 7 11 3 5 5 2 6 10 5 2 5 6 3 : . 7 11 7 11 3 7 7 11 11 10 3 1 1 . 0 10 3 8 899 1.3 2.4 29.31 c)C . ...... . ..... 22 32 302 2.2 3.3 30.30 1.2.3.....29 3.4......31 1 31 31 . . 2.3.4.....30 2.3.4.....30 30 2 60 Câu 2. (4,0 điểm) 3) Tìm x biết : a) 2x 3 4.52 103 2x 3 3 x 3 2x 3 100 103 2x 3 3 2x 3 3 x 0 b) 2x 1 4x 2 .... 400x 200 5 10 ..... 1000 2x 1 2 2x 1 ..... 200 2x 1 5.1 5.2 .... 5.200 2x 1 1 2 ..... 200 5 1 2 3 .... 100 2x 1 5 x 3 5 y 1 4) Tìm các số nguyên x, y sao cho x 3 6 5 y 1 x 1 2y 30 x 3 6 Vì 1 2y là số lẻ nên 1 2y 5; 3; 1; 15;1;3;5;15 x 6 10 30 6 10 30 2 2 1 2y 5 3 1 5 3 1 15 15 y 3 2 1 2 1 0 7 8
3. Vậy x; y 6; 3 ; 10; 2 ; 30; 1 ; 6;2 ; 10;1 ; 30;0 ; 2;7 ; 2; 8  Câu 3. (4,0 điểm) d) Tìm số nguyên tố p sao cho p 2; p 6; p 8; p 14 đều là số nguyên tố Với p 2 thì p 2 4 là hợp số (loại) Với p 3 thì p 6 9 là hợp số (loại) p 2 7 p 6 11 Với p 5 thì là số nguyên tố (nhận) p 8 13 p 14 19 Với p 5k 1thì p 14 5k 15 5 k 3 là hợp số (loại) Với p 5k 2 thì p 8 5k 10 5 k 2 là hợp số (loại) Với p 5k 3 thì p 2 5k 5 5 k 1 là hợp số (loại) Với p 5k 4 thì p 6 5k 10 5 k 2 là hợp số (loại) Vậy p 5 e) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n 1và 3n 1là các số chính phương Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 9 n 100 19 2n 1 201 Mà 2n 1là các số chính phương và là số lẻ 2n 1 25 49 81 121 169 n 12 24 40 60 84 3n 1 37 73 121 181 253 Vì 3n 1là các số chính phương nên nhận 3n 1 121 Vậy n 40 thì 2n 1và 3n 1là các số chính phương. f) Tìm chữ số a và số nguyên x , sao cho 12 3x 2 1a96 Ta có : 2 2 12 3x 1a96 3 4 x 1096 100a 2 2 1096 100a 2 7 a 9 4 x 1096 100a 4 x 4 x 121 11a 9 9 2 7 a Vì x ¢ nên 4 x ¢ 121 11a ¢ 9
4. 2 4 x 12 x 8 Suy ra 7 a 9 a 2 4 x 144 4 x 12 x 16 x 8 Vậy a=2 và x 16 Câu 4. (6,0 điểm) Cho góc xBy 55 . Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A,C A B,C B . Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD 30 x A z D B y C d) Tính độ dài AC, biết AD 4cm,CD 3cm Ta có D AC điểm D nằm giữa hai điểm A và C AD DC AC AC 4 3 7(cm) e) Tính số đo của góc DBC Ta có ABC ABD 55 30 nên tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ABD DBC ABC DBC ABC ABD DBC 55 30 25 f) Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz 90 . Tính số đo ABz Ta có DBz DBA 90 30 Tia BA nằm giữa hai tia BD và Bz ABz DBA DBz ABz DBz DBA DBC 90 30 60 Câu 5. (2,0 điểm) 3 1 1 1 1 4 c) Chứng minh rằng ....... 5 31 32 33 60 5
5. 1 1 1 1 Đặt S ..... . Ta có : 31 32 33 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ..... .... ..... 31 32 40 41 42 50 51 52 60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S .... .... ..... 40 40 40 50 50 50 60 60 60 1 1 1 37 36 3 S 4 5 6 60 60 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S ..... .... .... 30 30 30 40 40 40 50 50 50 1 1 1 47 48 4 S 3 4 5 60 60 5 3 4 Vậy S 5 5 d) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng a3 b3 c3 3abc và a2 2 b c Ta có a,b,c là các số nguyên dương nên 3abc 0 a3 b3 c3 a3 b3 a b; a3 c3 a c 2a b c 4a 2 b c Mà a2 2 b c 4a a2 a 4 Mặt khác a2 2 b c a2 là số chẵn nên a là số chẵn do đó a 2 Ta có b 2,c 2 mà b,c là các số nguyên dương nên b 1,c 1 Vậy a 2,b 1,c 1