Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Tân Kỳ (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi Toán 6 cấp Huyện - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Tân Kỳ (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂN KỲ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 _ NĂM HỌC 2022-2023 Câu 1. (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau 22 22 A 5 222 122 100 5 2022  1 1 1 B 1 1 2 1 2 3 ....... 1 2 3 .... 20 2 3 20 5.46.94 39. 8 4 C 4.213.38 2.84. 27 3 Câu 2. (4 điểm) Tìm số nguyên x biết : a)14.72021 35.72021 3.49x 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 b) ..... x ..... 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 Câu 3. (4 điểm) a) Tìm số nguyên n để A 2n2 n 6chia hết cho 2n 1 b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 124 c) Tìm các số nguyên tố x và y biết x2 6y2 1 Câu 4. (5 điểm) a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m.Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m2 . Tính độ dài đường chéo AC, biết BD 9m b) Cho hai tia Ox,Oy đối nhau, trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA 5cm,OM 1cm . Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB 3cm . Chứng tỏ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB c) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng Câu 5. (3 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn 3xy 2x 5y 6 6n 3 b) Tìm số tự nhiên n để phân số M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó 4n 6
2. ĐÁP ÁN Câu 1. (4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau 22 22 A 5 222 122 100 5 2022  522 222 122 100 522 2022 2022 1 1 1 B 1 1 2 1 2 3 ....... 1 2 3 .... 20 2 3 20 1 2 1 1 4.3 1 21.20 1 1 . . ...... . 1 2 3 ... 20 105 2 2 3 2 20 2 2 4 5.46.94 39. 8 5.212.38 39.212 38.212. 5 3 C 1 4.213.38 2.84. 27 3 215.38 213.39 213.38. 4 3 Câu 2. (4 điểm) Tìm số nguyên x biết : a)14.72021 35.72021 3.49x 2.72022 5.72022 3.72x 3.72x 3.72022 x 1011 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 b) ..... x ..... 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 1 1 1 1 1 1 2 8 ..... x 1 1 ..... 1 1 2 3 4 9 10 9 8 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ..... x 10. ..... x 10 2 3 4 9 10 9 8 2 10 Câu 3. (4 điểm) d) Tìm số nguyên n để A 2n2 n 6chia hết cho 2n 1 Ta có : A 2n2 n 6 n 2n 1 6 Vì A2n 1 62n 1 2n 1 U (6) 1; 2; 3; 6. Do 2n + 1 lẻ nên ta có bảng : 2n 1 1 1 3 3 n 0 1 1 2 Vậy n 2; 1;0;1 e) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 124 Vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ và không chia hết cho 3 p2 1 ( p 1)( p 1) 2k.(2k 2) 4k(k 1)8 2 p 3k 1 2 p 1 ( p 1)( p 1)3 vs  p 124 p 3k 2 (3,8) 1 
3. f) Tìm các số nguyên tố x và y biết x2 6y2 1 x2 6y2 1 x2 x x 1 6y2 x 1 x 1 6y2 do x 1 x 1 8 6y2 8 y2 y 2 x2 6.22 1 x 5 Vậy x; y 2;5 Câu 4. (5 điểm) d) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m.Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m2 . Tính độ dài đường chéo AC, biết BD 9m 15m B A 8m C D Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là : 15.8 120 m2 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là : 120 75 45 m2 Độ dài đường chéo AC : 45.2 :9 10(m) e) Cho hai tia Ox,Oy đối nhau, trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA 5cm,OM 1cm . Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB 3cm . Chứng tỏ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB x A M O B y Vì hai điểm A và M cùng thuộc tia Ox và OM OAnên điểm M nằm giữa O và A, suy ra OM MA OA MA OA OM 5 1 4(cm) Vì OA và OB là hai tia đối nhau, M thuộc OA nên OM và OB là hai tia đối nhau, suy ra điểm O nằm giữa hai điểm M và B . Khi đó OM OB MB MB 1 3 4(cm)
4. Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B và MA MB 4cm nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB f) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng (ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng Giả sử có 30 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là : 30.29 : 2 435 (đường thẳng) Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 5.4 : 2 10 (đường thẳng) Nhưng 5 điểm này thẳng hàng nên chỉ vẽ được 1 đường thẳng Do đó số đường thẳng giảm đi là 10 1 9 (đường thẳng) Vậy vẽ được 435 9 426 (đường thẳng) Câu 5. (3 điểm) c) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn 3xy 2x 5y 6 3xy 2x 5y 6 x 3y 2 5y 6 3x 3y 2 15y 18 3x 3y 2 5 3y 2 8 3x 5 3y 2 8 4. 2 1. 8 2.4 1.8 (do 3y 2 chia3du2) 3y 2 4 1 2 8 3x 5 2 8 4 1 y 2 1 0 2 x 1 1 3 2 Vậy x; y 1; 2 ; 1; 1 ; 3;0 ; 2;2  6n 3 d) Tìm số tự nhiên n để phân số M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó 4n 6 6n 3 3 6 Ta có M 4n 6 2 4n 6 6 Vì có tử 6 > 0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n 6đạt giá trị dương nhỏ nhất với n là 4n 6 3 6 9 số tự nhiên 4n 6 2 n 2 . Khi đó M 2 2 2 Vậy Max M 4,5 khi n 2