Đề thi Olympic cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Olympic cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD&ĐT Nghĩa Đàn (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT NGHĨA ĐÀN ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P b) Tìm x để c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x > 1 Câu 2 (6 điểm) a) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho dư 10, f(x) chia cho dư 22, f(x) chia cho được thương là và còn dư b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì chia hết cho 6. c) Giải phương trình nghiệm nguyên: Câu 3 (3,0 điểm) a) Cho và , tính giá trị của biểu thức: a) Cho 2 số a và b thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh : Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B, C). Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân. b) Chứng minh: ME // BN. c) Từ C kẻ CH BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. ------------------HẾT----------------- Họ và tên thí sinh: SBD: (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI OLYMPIC Môn thi: Toán 8 Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Ý Đáp án Điể m 0,5đ ĐKXĐ : a Không có đk x -1 trừ 0,25đ 2 0,5đ đ 0,5đ 0,5đ 0,25 Câu 1( 5 điểm) với ĐKXĐ đ 1 ( 4 điểm) 0,25 b đ 2 0,25 đ đ 0,25 đ 0,25 đ (TM ĐKXĐ) 0,5đ Hoặc x = - 1 ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - 1 trừ 0,25 điểm ) 0,25 Vậy đ 0,25 đ 0,25 c đ
3. 1 đ Vì x > 1 nên và > 0. Áp dụng bất 0,25 đẳng thức Cosi cho 2 số dương x – 1 và đ ta có: Dấu “ = “ xẩy ra khi x – 1 = 2  ( x – 1) = 1 0,25  x – 1 = 1 ( vì x – 1 > 0 ) đ  x = 2 ( TM )  Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi x = 2 a Giả sử f(x) chia cho được thương là 0.5đ 2 và còn dư là . đ Khi đó: Theo đề bài, ta có: 0.5đ Do đó: 0.5đ Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: 0.5đ a3 + 5 a = a3 – a + 6a 0,5đ = a(a2 – 1) + 6a 0,25 Câu 2( 6 điểm) b đ 2 = (a-1)a(a+1)+ 6a 0,25 đ đ * (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp 0,25 nên tồn tại 1 bội của 2 suy ra chia hết cho 2 đ * (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp 0,25 nên tồn tại 1 bội của 3 suy ra chia hết cho 3 đ Vì (2;3) = 1 nên (a-1)a(a+1) chia hết cho 6 0,25 đ * 6a chia hết cho 6 0,25 Vậy a3 + 5 a chia hết cho 6 đ 0,5đ 1,0đ c 2 đ 0,25 đ
4. 0,25 đ a 0,5đ 0,5đ 0,5đ = 0,25 Câu 3(3,0 điểm) đ b CC 0,25 = đ 0,25 = = đ = 0,5đ Do a 1; b 1 nên 0,25
5. Hình vẽ 0,5đ Xét ∆OEB và ∆OMC 0,25 đ a Vì ABCD là hình vuông nên ta có OB = OC 0,5đ 3 0,5đ Và đ BE = CM ( gt ) 0,25 đ Câu 4( 6 điểm) Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) 0,25 đ 0,5đ OE = OM và 0,25 Lại có vì tứ giác ABCD đ là hình vuông 0,5đ kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân tại O Từ (gt) tứ giác ABCD là hình vuông AB 0,5đ = CD và AB // CD b 0,5đ 2 + AB // CD AB // CN ( đ Theo ĐL Ta- lét) (*) Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM 0,5đ thay vào (*) 0,5đ Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lét) Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN ( cặp góc so le trong) 0,25 Mà vì ∆OEM vuông cân tại O đ c ∆OMC ∆BMH’ (g.g)
6. 1 0,25 đ ,kết hợp ( hai góc đ đối đỉnh) ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) 0,25 đ Vậy Mà CH BN ( H BN) H H’ hay 3 0,25 điểm O, M, H thẳng hàng đ