Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Kiến Xương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Kiến Xương (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNGHỌC SINH GIỎI KIẾN XƯƠNG NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian làm bài:120 phút Bài 1: (4,0 điểm)Cho đa thức: P x x3 6x2 11x 6 1. Phân tích đa thức P x thành nhân tử. 2. Chứng minh rằng P x chia hết cho 6 với mọi x nguyên. Bài 2: (4,0 điểm) 1 1 1 1. Cho 3 số dương x, y, z . Chứng minh rằng x y z 9 . x y z 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Xác định dạng của tam giác để: a b c P đạt giá trị nhỏ nhất. b c c a a b x y x y x2 y2 2x2 y2 Bài 3:(5,0 điểm) Cho biểu thức A : 1 2 2 (với xy 1) 1 xy 1 xy 1 x y 1. Rút gọn biểu thức A . 2x 1 2. Tính giá trị biểu thức A biết x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn 1. x2 1 3. Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên. Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD , gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC . Hai đường thẳng AD và MC cắt nhau tại E . I là giao điểm của CM và DN . 1. Chứng minh rằng: a) DEI vuông. b) ·AIM ·ACM 45 . 2. Tính tỉ số diện tích của tam giác CNI và diện tích hình vuông ABCD . 4 a b 29 Bài 5:(1,0 điểm)Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn a b . Chứng minh a b . 5 ab 5 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 1
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 KIẾN XƯƠNG KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2015 – 2016 Bài 1: (4,0 điểm) Cho đa thức: P x x3 6x2 11x 6 1. Phân tích đa thức P x thành nhân tử. 2. Chứng minh rằng P x chia hết cho 6 với mọi x nguyên. Câu Đáp án Điểm Ta có P x x3 6x2 11x 6 x3 x2 5x2 5x 6x 6 0,5 x2 x 1 5x x 1 6 x 1 0,75 Câu 1 (2,5 đ) x 1 x2 5x 6 0,5 ... x 1 x 2 x 3 0,5 Vậy P x x 1 x 2 x 3 0,25 + Chứng minh được P x chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên x 1 Câu 2 (1,5 đ) + Lập luận 2, 3 1 P x 6 với mọi x là số nguyên 0,5 Bài 2: (4,0 điểm) 1 1 1 1. Cho 3 số dương x, y, z . Chứng minh rằng x y z 9 . x y z 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Xác định dạng của tam giác để: a b c P đạt giá trị nhỏ nhất. b c c a a b Câu Đáp án Điểm Biến đổi: 1 1 1 x y x z y z 0,75 x y z 3 x y z y x z x z y Do x, y, z 0 , nên áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương ta 0,75 Câu 1 (2,0 đ) được: x y x y 2 . 2. (dấu “=” xảy ra khi x y ) y x y x x z 2 . (dấu “=” xảy ra khi x z ) z x Trang 2
3. y z 2 .(dấu “=” xảy ra khi y z ) z y 1 1 1 x y z 3 2 2 2 9 x y z Dấu “=” xảy ra khi x y z . 0,5 1 1 1 Vậy x y z 9 x y z a b c Ta có: P b c c a a b a b c P 1 1 1 3 b c c a a b 1 1 1 0,5 a b c 3 b c c a a b 1 1 1 1 P b c c a a b . 3 2 b c c a a b 0,5 Câu 2 (2,0 đ) Áp dụng câu 1, ta có: 0,5 1 1 1 b c c a a b . 9 b c c a a b 1 3 P .9 3 2 2 Dấu “=” xảy ra khi b c c a a b a b c 0,5 a b c 3 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là khi tam giác là b c c a a b 2 tam giác đều. x y x y x2 y2 2x2 y2 Bài 3:(5,0 điểm) Cho biểu thức A : 1 2 2 (với xy 1) 1 xy 1 xy 1 x y 1. Rút gọn biểu thức A . 2x 1 2. Tính giá trị biểu thức A biết x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn 1. x2 1 3. Tìm các số nguyên không âm x để A có giá trị là số nguyên. Câu Đáp án Điểm x y x y x2 y2 2x2 y2 A : 1 2 2 (với xy 1) 1 xy 1 xy 1 x y 2x 2xy2 1 x2 y2 x2 y2 0,5 Câu 1 A : (2,0 đ) 1 x2 y2 1 x2 y2 2 2x 1 y 1 x2 y2 2x 1,25 A . 1 x2 y2 1 y2 x2 1 x2 1 Trang 3
4. 2x 0,25 Vậy A x2 1 2x 1 + Giải bất phương trình 1 x2 1 2x 1 x2 1 (do x2 1 0 x ) 0,5 x2 2x 0 0,5 Câu 2 0 x 2 (2,0 đ) + Do x là số nguyên lớn nhất nên x 2 0,5 2.2 4 0,25 Thay x 2 vào biểu thức A ta được: A 22 1 5 2x 1 4 0,25 Vậy với x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn 1 thì A . x2 1 5 2x 0,5 Ta có A x2 1 + Do x 0; x2 1 0 nên A 0 (1) 2 2 2 2x x 1 x 2x 1 x 1 + Ta có A 1 1 x2 1 x2 1 x2 1 Câu 3 (2) (1,0 đ) Từ (1) và (2) 0 A 1 Do A là số nguyên nên A 0; 1 + Với A 0 ; từ (1) ta được x 0 (tmđk) 0,5 + Với A 1; từ (2) ta được x 1 (tmđk) Vậy với x 0; 1 thì A có giá trị là số nguyên. Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình vuông ABCD , gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC . Hai đường thẳng AD và MC cắt nhau tại E . I là giao điểm của CM và DN . 1. Chứng minh rằng: a) DEI vuông. b) ·AIM ·ACM 45 . 2. Tính tỉ số diện tích của tam giác CNI và diện tích hình vuông ABCD . Câu Đáp án Điểm D A E M I C N B Trang 4
5. - Chứng minh MBC NCD (c.g.c) 0,5 Câu + Suy ra được B· MC D· NC 0,5 1(a) (2,5 đ) Mà B· MC M· CN 90 I·NC I·CN 90 1 + Từ đó suy ra được CM  DN và DEI vuông. 0,5 - Chứng minh được AI là trung tuyến của DEI vuông tại I 0,5 µ · 0,5 Câu 2 - Chứng minh AEI cân E MIA (2,0 đ) + M· IA M· CA Eµ M· CA D· AC (tính chất góc ngoài tam giác) 0,5 + D· AC 45 (tính chất hình vuông). Từ đó suy ra đpcm. 0,5 - Chứng minh INC đồng dạng BMC 0,5 2 0,5 SCNI NC 1 Câu 3 + Tính được S MC 5 (1,5 đ) BMC 1 SCNI 1 0,5 + Chứng minh SBMC SABCD . Từ đó suy ra 4 SABCD 20 4 a b 29 Bài 5:(1,0 điểm)Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn a b . Chứng minh a b . 5 ab 5 Câu Đáp án Điểm 1 1 4 0,25 Với a, b 0 , ta có a b a b 4 1 1 Mà a b nên 5 (1) 5 a b 1 1 4 4 21 1 1 0,25 Ta có P a b a b a b 25a 25b 25 a b Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương ta có: 0,25 4 4 4 a 2 a. 25a 25a 5 (2) 4 4 4 b 2 b. 25b 25b 5 4 4 21 29 Từ (1) và (2) ta có: P .5 5 5 25 5 2 Dấu “=” xảy ra khi a b 5 a b 29 2 0,25 Vậy a b (Dấu “=” xảy ra khi a b ) ab 5 5 Lưu ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu học sinh không vẽ hình hoặc sai hình thì không chấm điểm bài hình. Trang 5
6. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ nửa số điểm ở phần đó. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 6
7. Trang 7
8. Trang 8
9. Trang 9
10. Trang 10
11. Trang 11