Đề thi chọn Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT huyện Cẩm Thủy (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT huyện Cẩm Thủy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN CẨM THỦY ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 ĐỀ THI SỐ 87 NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài:90 phút Bài 1: (4,0 điểm) 0,5x2 x 2 x3 8 2 1. Cho biểu thức: P : 1 0,5x x 2 x 2 x a) Rút gọn biểu thức P; 1 b)Tìm x để P . 1 x x x2 2. Cho a . Tính theo a giá trị của biểu thức: P . x2 x 1 x4 x2 1 Bài 2: (4,0 điểm) 1 x2 1. Cho phương trình: x a2 x a 1 x2 x2 1 a) Giải phương trình khi a 2; b)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất. 2. Đa thức f x khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3. Tìm phần dư khi chia f x cho x 1 x2 1 . Bài 3:(4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y 1 x2 2xy 2x y 2. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2 số gọi là a và b sao cho a2 b2 11 Bài 4:(6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB . Cho biết tia CN cắt tia DA tại E , tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF . a) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; b) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC. c) Xác đình vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFBE có diện tích bằng 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 5:(2,0 điểm) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn điều kiện: a b 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 a A a2 4a b = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS ABC Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 0,5x2 x 2 x3 8 2 1. Cho biểu thức P : 1 0,5x x 2 x 2 x a) Rút gọn biểu thức P; 1 b)Tìm x để P . 1 x x x2 2. Cho a . Tính theo a giá trị của biểu thức: P . x2 x 1 x4 x2 1 Lời giải 0,5x2 x 2 x3 8 2 1. Cho biểu thức P : . ĐKXĐ x 0, x 2 1 0,5x x 2 x 2 x a)Khi đó: x2 2x 4 x 2 2 1 2 x 2 1 P . 2 x x 2 x2 2x 4 x x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 1 1 1 1 1 2x 1 b)Để P 0 0 1 x x 1 x x x 1 x x 1 1 2x 1 0 x 1 TH1 2 x 1 x x 1 0 2 0 x 1 1 2x 1 0 x TH2: 2 x 0 x x 1 0 x 0  x 1 1 Vậy x 0  x 1 là giá trị cần tìm. 2 x2 x2 x2 x 2. Ta có: P a 4 2 2 2 2 2 x x 1 x2 1 x2 x x 1 x x 1 x x 1 - Nếu x 0 a 0 P 0 x 1 1 a2 a2 - Nếu x 0 P a. a a . Vậy: P x2 x 1 x2 x 1 1 2a 1 2a 1 2 2 x a Bài 2: (4,0 điểm) 1 x2 1. Cho phương trình: x a2 x a 1 x2 x2 1 a) Giải phương trình khi a 2; b)Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất.
3. 2. Đa thức f x khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3. Tìm phần dư khi chia f x cho x 1 x2 1 . Lời giải 1 x2 1. a) Thay a 2 vào phương trình ta được: x 4x 2 . ĐKXĐ x 1 1 x2 x2 1 x2 1 1 Khi đó ta có: 3x 2 3x 2 1 x x2 1 x2 1 3 2 2 x 1 2 b)Với x 1ta có: 1 a x a 2 2 1 a x 1 a x 1 x 1 1 a2 0 a 1 Phương trình có nghiệm duy nhất khi: 1 a 1 a 0 1 a 1 a 2 1. Giả sử f x x 1 x2 1 .g x + ax2 bx c + Vì f x chia cho x 1 dư 4 nên f 1 4 a b c 4 (1) Mà 2 2 2 f x x 1 x 1 .g x + a x 1 bx c a x 1 x 1 .g x a bx c a b 2 b 2 + Vì f x chia cho x2 1 được thương là 2x 3 nên: (2) c a 3 c a 3 3 9 Thay (2) vào (1) ta được: a 2 a 3 4 a b 2, c 2 2 3 9 Vậy đa thức dư là: x2 2x 2 2 Bài 3: (0,0 điểm) 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: x2 y 1 x2 2xy 2x y 2. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2 số gọi là a và b sao cho a2 b2 11 Lời giải 1. Ta có: x2 y 1 x2 2xy 2x y x2 2x 1 y x2 2x 1 x2 2x 1 y x2 2x 1 4x + Vì x, y Z x2 2x 1 0 nên 4x 4x 2x x 2 y 1 Z Z Z x2 2x 1 x2 2x 1 x2 2x 1 2 x2 2x 1 4 4 2 2 Z 2 Z 4 x 2x 1 x 2x 1 x 2x 1 Bảng giá trị nguyên tương ứng: x2 2x 1 -1 1 -2 2 -4 4 x 0 2 loại 1 -1 3 Loại Loại
4. y 1 -7 -1 -1 7 Vậy x, y 0;1 , 2; 7 , 1; 1 , 1; 1 , 3;7  2. Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được 2 số gọi là a và b sao cho a2 b2 11 Trong 11 số nguyên tố phân biệt lẻ lớn hơn 2 có ít nhất 9 số nguyên tố lẻ lớn hơn 5 nên theo nguyên lí Diricle luôn có ít nhất 2 số khi chia cho 5 có cùng số dư. Giả sử hai số nguyên tố lẻ lớn hơn 5 đó là hai số a,b a b 5 a b 5 a b a b 5 a2 b2 5 (1) +) Vì a,b là hai số nguyên tố lẻ lớn hơn 5 nên a b và a b là hai số chẵn a b 2 2 2 a b a b 4 a b 4 (2) a b 2 +) Vì a,b là hai số nguyên tố lẻ lớn hơn 5 2 a 1 mod 3 a2 b2  0 mod 3 a2 b2 3 (3) 2 b 1 mod 3 +) Vì ƯCLN(3,4,5) = 1 (4) Nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: a2 b2 3.4.5 a2 b2 60 Bài 4: (0,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB . Cho biết tia CN cắt tia DA tại E , tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF . a) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; b) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC ; c) Xác định vị trí của điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích bằng 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Lời giải E M F A B N I D C a) +) Vì AEF vuông tại A , trung tuyến AM nên AM ME MF +) CEF vuông tại C , trung tuyến CM nên CM ME MF MA MC M thuộc trung trực của AC (1)
5. Mặt khác: Do ABCD là hình vuông nên BA BC DA DC BD là trung trực của AC (2). Từ (1) và (2) suy ra B, D, M thẳng hàng. b) +)Vì: M· CF M· CE 900 D· CE M· CE M· CF D· CE Xét DCE và BCF có: Dµ Bµ 900 gt DC BC(gt M· CF D· CE (c/m trên) DCE BCF(g.c.g) CE CF CEF vuông cân tạiC CM cũng là đường phân giác của E· CF E· CM 450 ·ACB ·ACE B· CE B· CE B· CM 450 ·ACE B· CM (3) +) Vì: E· AC 450 900 1350 M· BC E· AC M· BC 1350 (4) Từ (3) và (4) suy ra EAC đồng dạng với MBC. c) Đặt AE x 0 x a SACFE SACF SAEF SABC SDCE SAEF 1 1 1 1 1 1 S AB2 DC.DE AE.AF a2 a a x x a a x ACFE 2 2 2 2 2 2 1 1 S a2 ax x2 ax ACFE 2 2 Theo đề bài: 1 1 S 3S a2 ax x2 ax 3a2 x2 3ax - 4a2 0 x a x 4a 0 ACFE ABCD 2 2 Vì 0 x a x a AE AB a AEN BCN g.c.g AN BN Hay N là trung điểm của AB . Bài 5: (0,0 điểm) Cho 2 số dương a,b thỏa mãn điều kiện: a b 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 a A a2 4a b Lời giải 1 a a +) Từ a b 1 2 ab a b 1 4a 4a2 4a2 b b b +) Khi đó: 2 3 a 2 3 2 2 1 2 1 1 2 1 1 9 A a a 4a 3 a 3 a 3.3.3 a . . 4a b 4a 4a 8a 8a 8a 8a 4 1 Dấu "=" xảy ra khi a b 2 9 1 Vậy GTLN của A khi a b 4 2 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =