Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Quận Quốc Oai (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Quận Quốc Oai (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT QUẬN QUỐC OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS ABC MÔN TOÁN 8 ĐỀ THI THỬ SỐ 00 NĂM HỌC: 2016 – 2017 Thời gian làm bài: 120 phút x 2 1 10 x2 Bài 1: (2,5 điểm). Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Tìm TXĐ của A b) Rút gọn A c) Tính A nếu x thoả mãn 2x2 3x 14 0 Bài 2: (4,0 điểm): Giải các phương trình 5 x 3x 5 x 2 1 5 x 3 a) b) 1 3 4 6 x 1 x 2 x2 x 2 c) x3 6x2 11x 12 0 d) (x y)2 (x 1)(y 1) Bài 3: (1,5 điểm) Tìm các số a, b sao cho x4 2x3 3x2 ax b chia cho x2 x 2 dư 4x 1 Bài 4: (2,0 điểm) Một hội trường có 500 ghế ngồi, người ta xếp thành các dãy có số ghế như nhau. Nếu mỗi dãy thêm 3 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong hội trường sẽ tăng thêm 6 chiếc. Hỏi lúc đầu người ta định xếp bao nhiêu dãy ghế? Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho a, b, c, d là 4 số nguyên bất kỳ Chứng minh a b a c a d b c b d c d 12 2 b) Tìm số nguyên n để n2 8 36 là số nguyên tố Bài 6: (7,0 điểm) Cho hình tthang ABCD AB / /CD . Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là giao điểm của AD và BC , OI cắt AB tại E , cắt CD tại F OA OB LA IB a) Chứng minh: OC OD IC ID b) Chứng minh: EA EB 1 1 1 c) Kẻ OP / / AB, P AD , Chứng minh: AB CD OP d) Nếu CD 3AB và diện tích hình thang ABCD bằng 48cm2 . Tính diện tích tứ giác IAOB = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC: 2016 – 2017 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x 2 1 10 x2 Bài 1: (2,5 điểm). Cho biểu thức A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a) Tìm TXĐ của A b) Rút gọn A c) Tính A nếu x thoả mãn 2x2 3x 14 0 Lời giải a) TXĐ x 2 b) Rút gọn A x 2 1 10 x2 x 2x 4 x 2 x2 4 10 x2 A 2 : x 2 : x 4 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 . x 2 x 2 6 x 2 1 Vậy A với x 2 x 2 c) Ta có 2x2 3x 14 0 2x2 7x 4x 14 0 x 2x 7 2 2x 7 0 2x 7 x 2 0 7 2x 7 0 x 2 x 2 0 x 2 7 1 1 2 Với x ta có A 7 3 2 2 3 2 2 Vói x = 2 không thoả mãn điều kiện xác định 2 2x2 3x 14 0 Vậy A khi 3 x 2 Bài 2: (4,0 điểm) Giải các phương trình 5 x 3x 5 x 2 1 5 x 3 a) b) 1 3 4 6 x 1 x 2 x2 x 2 c) x3 6x2 11x 12 0 d) (x y)2 (x 1)(y 1) Lời giải
3. a) 5 x 3x 5 x 2 3 4 6 20 4x 9x 15 2x 4 12 12 5x 5 2x 4 0 3x 9 x 3 Vậy S 3 b) 1 5 x 3 1 dk x -1;x 2 x 1 x 2 x2 x 2 x 2 5 x x 1 3 x 1 x 2 x 2 5 4x x2 3 x2 x 2 0 4x 2 0 4x 2 1 x 2 1  Vậy S  2 c) x3 6x2 11x 12 0 x3 4x2 2x2 8x 3x 12 0 x2 x 4 2x x 4 3 x 4 0 x 4 x2 2x 3 0 x 4 0 x 4 2 2 x 2x 3 0 x 1 2 0 VN Vậy S 4 d) (x y)2 (x 1)(y 1) x2 2xy y2 xy x y 1 x2 2xy y2 xy x y 1 0 x2 xy y2 x y 1 0 2x2 2xy 2y2 2x 2y 2 0 x2 2xy y2 x2 2x 1 y2 2y 1 0 (x y)2 x 1 2 y 1 2 0
4. 2 (x y) 0 x y 2 x 1 0 x 1 2 y 1 y 1 0 Vậy nghiệm của phương trình là x; y 1; 1 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm các số a, b sao cho x4 2x3 3x2 ax b chia cho x2 x 2 dư 4x 1 Lời giải Ta có x4 2x3 3x2 ax b x2 x 2 x4 x3 2x2 x2 3x 2 3x3 5x2 ax b 3x3 3x2 6x 2x2 a 6 x b 2x2 2x 4 a 8 x b 4 Vì x4 2x3 3x2 ax b chia cho x2 x 2 dư 4x 1 nên a 8 x b 4 4x 1 a 8 4 a 4 b 4 1 b 5 a 4 Vậy với thì x4 2x3 3x2 ax b chia cho x2 x 2 dư 4x 1 b 6 Bài 4: (2,0 điểm) Một hội trường có 500 ghế ngồi, người ta xếp thành các dãy có số ghế như nhau. Nếu mỗi dãy thêm 3 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong hội trường sẽ tăng thêm 6 chiếc. Hỏi lúc đầu người ta định xếp bao nhiêu dãy ghế? Lời giải Gọi x là số dãy ghế lúc đầu người ta định xếp x N*; x 3 500 Số ghế trên một dãy lúc đầu là (chiếc) x Vì mỗi dãy thêm 3 ghế và bớt đi 3 dãy thì số ghế trong hội trường sẽ tăng thêm 6 chiếc ta có phương trình 500 3 x 3 500 6 x 1500 500 3x 9 506 x 3x2 15x 1500 0 x2 5x 500 0 x 25 x 20 0 x 25 x 20(loai)
5. Vậy lúc đầu người ta định xếp 25 dãy ghế Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho a, b, c, d là 4 số nguyên bất kỳ Chứng minh a b a c a d b c b d c d 12 2 b) Tìm số nguyên n để n2 8 36 là số nguyên tố Lời giải a) Đặt A a b a c a d b c b d c d Chia 4 số nguyên a, b, c, d cho 3 ta được 3 số dư 0; 1; 2 . Theo nguyên lý DIRICHLET sẽ có 2 trong 4 số có cùng số dự khi chia cho 3 nên hiệu của hai số đó chi hết cho 3 hay A chia hết cho 3. Nếu 4 số a, b, c, d có ít nhất 3 số chẵn hoặc ít nhất 3 số lẻ nên có 2 hiệu chia hết cho 2 hay A chia hết cho 4. Nếu 4 số a, b, c, d có 2 số chẵn 2 số lẻ nên có 2 hiệu chia hết cho 2 hay A chia hết cho 4. Do đó A luôn chia hết cho 3 và 4. Mà 3 và 4 nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 12 b) Ta có 2 n2 8 36 n4 16n2 64 36 n4 16n2 100 n4 20n2 100 36n2 2 n2 10 36n2 n2 6n 10 n2 6n 10 Vì n N * nên n2 6n 10 n2 6n 10 2 2 n 6n 10 1 để n2 8 36 là số nguyên tố thì 2 n 6n 10 1 Mà n2 6n 10 n2 6n 10 nên n2 6n 10 1 n2 6n 9 0 n 3 2 0 n 3 2 2 Với n = 3 n2 8 36 32 8 36 37 là số nguyên tố 2 Vậy với n = 3 thì n2 8 36 là số nguyên tố Bài 6: (7,0 điểm) Cho hình tthang ABCD AB / /CD .Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là giao điểm của AD và BC , OI cắt AB tai E , cắt CD tại F OA OB LA IB a) Chứng minh: OC OD IC ID b) Chứng minh: EA EB 1 1 1 c) Kẻ OP / / AB, P AD , Chứng minh: AB CD OP d) Nếu CD 3AB và diện tích hình thang ABCD bằng 48cm2 . Tính diện tích tứ giác IAOB Lời giải
6. a, Xét IDC có I H E G A B O P J C D K F AB / / CD IAB ∽ IDC IA IB AB IA IB AB (1) ID IC CD ID IC CD Xét OAB và OCD có ·AOB C· OD (Đối đỉnh) B· AO D· CO (So le trong) => OAB ∽ OCD (g-g) OA OB AB OA OB AB (2) OC OD CD OC OD CD OA OB LA IB Từ (1) và (2) suy ra OC OD IC ID b, +, Xét EOA và FOC có ·AOE F· OC (Đối đỉnh) E· AO F· CO (So le trong) => EOA ∽ FOC (g-g) OA EA OA AB EA AB mà (3) OC CF OC CD CF CD +, Xét IFC có EB/ / CF IEB ∽ IFC EB IB IB AB EB AB => mà (4) CF IC IC CD FC CD EA EB Từ (3) và (4) suy ra EA EB CF CF c, Xét ADB có OP // AB DAB∽ DPO OP DP => AB DA OP AP Tương tự ta có CD DA OP OP DP AP 1 AB CD DA DA 1 1 1 AB CD OP
7. d, Vẽ IK  CD(K CD) . Gọi H là giao điểm của IK và AB , J là giao điểm của IK và OP , vẽ OG  AB(G AB) IK  CD(K CD) Gọi SABCD là diện tích hình thang ABCD , SIAOB là diện tích tứ giác IAOB Xét tứ giác HIOG có O· IH I·HG H· GO 900 nên HIOG là hình chữ nhật HJ OG 1 1 1 1 1 S S S IH.AB OG.AB AB. IH OG AB IH HJ AB.IJ AIOB IAB OAB 2 2 2 2 2 1 1 1 S HK AB CD HK AB 3AB HK.4AB 2HK.AB ABCD 2 2 2 HJ AP AP OP OP HJ OP Ta có mà HK AD AD CD 3AB HK 3AB 1 1 1 1 1 1 4 1 OP 3 Lại có AB CD OP AB 3AB OP 3AB OP AB 4 HJ 3 1 HK 3.4 4 IH IB IB AB IH AB AB 1 IH 1 Mặt khác mà IK IC IC CD IK CD 3AB 3 HK 2 1 AB IH HJ S IH HJ IH HJ Ta có IAOB 2 SABCD 4AB.HK 4HK 4HK 4HK IH 1 HJ 1 Mà ; HK 2 HK 4 S 1 1 3 IAOB SABCD 4.2 4.4 16 3 3 2 SIAOB SABCD .48 9 cm 16 16 Vậy diện tích tứ giác IAOB bằng 9 cm2 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =