Đề thi chọn Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Ân Thi (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Ân Thi (Có đáp án)

1. ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 HUYỆN ÂN THI Năm học: 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (1,5 điểm) 1 2 5 x 1 2x Cho biểu thức: A 2  2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tính giá trị của A biết x 2 . Lời giải 1 2 5 x 1 2x 1 a) A 2  2 . ĐKXĐ: x 1,x . 1 x x 1 1 x x 1 2 1 2 5 x 1 2x A  2 1 x x 1 1 x 1 x x 1 x 1 2 2x 5 x 1 2x A  1 x 1 x x2 1 2 x2 1 A  1 x2 1 2x 2 A 1 2x 2 1 b) A với điều kiện x 1,x . 1 2x 2 x 2 (thỏa mãn ĐKXĐ) Ta có |x| = 2↔[x 2(thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2 Khi x 2 thì A . 1 2.2 3 2 2 Khi x 2 thì A . 1 2. 2 5 Bài 2: (1,5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 y2 2x 2y 2xy 1. 3 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B . 4x2 4x 3 Lời giải a) x2 y2 2x 2y 2xy 1 x2 2xy y2 2x 2y 1 x y 2 2 x y 1 x y 1 2 .
2. 3 b) B . ĐKXĐ: ∈ 푅. 4x2 4x 3 3 B 2x 1 2 2 2 3 3 Vì 2x 1 2 2 x nên B x . 2x 1 2 2 2 1 Dấu " " xảy ra 2x 1 0 x . 2 3 3 1 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B 2 là khi x . 4x 4x 3 2 2 Bài 3: (1,0 điểm) Chứng minh rằng: n3 3n2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n . Lời giải Ta có: n3 3n2 n 3 n3 n 3n2 3 n n2 1 3 n2 1 n n 1 n 1 3 n 1 n 1 n 1 n 1 n 3 Vì n lẻ nên.푛 = 2 + 1 ( ∈ 푍) Do đó n 1 n 1 n 3 2k 1 1 2k 1 1 2k 1 3 2k 2k 2 2k 2 8k k 1 k 1 Vì k k 1 k 1 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên k k 1 k 1 chia hết cho 2 và 3 . Mà ƯCLN 2,3 1 nên k k 1 k 1 chia hết cho 6 , suy ra 8k k 1 k 1 chia hết cho 48. Vậy n3 3n2 n 3 chia hết cho 48 với mọi số nguyên lẻ n . Bài 4: (2,0 điểm) 2.2017 a) Giải phương trình: 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 = (x ∈ N∗) 1.3 2.4 3.5 x(x 2) 2018 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1 x x2 x3 y3 . Lời giải 2 1 x2 2x 1 x 1 a) Ta có: 1 x x 2 x x 2 x x 2
3. 22 32 42 (x 1)2 2.2017 Do đó: (1)    1.3 2.4 3.5 x(x 2) 2018 2.3.4... x 1 2.3.4... x 1 2.2017  1.2.3...x 3.4.5... x 2 2018 2 x 1 2.2017 x 2 2018 x 1 2017 x 2 2018 x 2016 (thỏa mãn ∈ ∗) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S {2016} 2 2 1 3 3 3 b) Ta thấy: 1 x x x 0 x y x y x y x 1 2 4 - Nếu y x 1 thì 1 x x2 x3 (x 1)3 1 x x2 x3 x3 3x2 3x 1 2 x 0 2x 2x 0 2x(x 1) 0 x 1 Suy ra x; y 0;1 ; 1;0 . 3 - Nếu y x 1thì y3 x 1 1 x x2 x3 x3 3x2 3x 1 2x2 2x 0 2x(x 1) 0 1 x 0 Không có giá trị ∈ 푍thỏa mãn: 1 x 0 Vậy x; y 0;1 ; 1;0  . Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d 2 . Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d 4 1 a3 b3 c3 d 3 2 Lời giải Từ giả thiết: 2 a b c d suy ra 22 1.a 1.b 1.c 1.d 2 12 12 12 12 a2 b2 c2 d 2 1 a2 b2 c2 d 2 (1) 2 Lại có: 1.a2 1.b2 1.c2 1.d 2 12 12 12 12 a4 b4 c4 d 4 Hay (a2 b2 c2 d 2 )(a2 b2 c2 d 2 ) 4(a4 b4 c4 d 4 ) (2) Từ (1) và (2) 1.(a2 b2 c2 d 2 ) 4(a4 b4 c4 d 4 ) (3) 2 2 Mặt khác: a3 b3 c3 d 3 a.a2 b.b2 c.c2 d.d 2 (a2 b2 c2 d 2 )(a4 b4 c4 d 4 ) (4)
4. 2 2 Từ (3) và (4) suy ra a3 b3 c3 d 3 4 a4 b4 c4 d 4 a4 b4 c4 d 4 1 a3 b3 c3 d 3 2 1 Dấu “=” xảy ra: a b c d . 2 Bài 6: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC . M là giao điểm của CE và DF . a) Chứng minhCE vuông góc với DF . CM .CE b) Chứng minh a . CF c) Gọi K là giao điểm của CM và DA . Chứng minh tam giác MAD cân. d) Tính diện tích của tam giác MDC theo a . Lời giải K B A E F M E 1 1 2 D C a) Chứng minh CE  DF Vì ABCD là hình vuông nên = = = = 900; AB BC CA DA a . Vì E và F là trung điểm của AB và BC nên AE EB BF FC . Xét BEC và CFD có: = 퐹 = 퐹 = 900 = BEC CFD(c.g.c)  1 = 1 0 Mà 1 + 2 = 90
5. 0  1 + 2 = 90 => = 900 CE  DF tại M. CM.CE b) Chứng minh a CF Xét CMF và CBE có: chung 퐹 = = 900 CMF ∽ CBE(g.g) CM CF CB CE CM.CE CB CF CM.CE Vậy a CF c) Chứng minh MAD cân Xét AEK và BEC có: 퐾 = = 900 AE EB (gt) 퐾 = (2 góc đối đỉnh) AEK BEC(g.c.g) AK BC Mà BC AD AK AD Xét DMK vuông tại Mcó MA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền KD MA AD AK MAD cân tại A . d) Tính SMDC theo a Xét CMD và FCD có: 1 chung = 퐹 = 900 CMD S FCD(g.g) 2 2 SCMD CD CD SCMD .SFCD SFCD FD FD 1 1 1 a2 Ta có: S CF.CD . .a.a FCD 2 2 2 4 Xét CDF vuông tại C có: FD2 CF2 CD2 (định lý Py-ta-go) 2 2 2 a 2 5a FD a 2 4
6. 2 CD a2 4 FD 5a2 5 4 4 a2 a2 Do đó: S . CMD 5 4 5 a2 Vậy S (đvdt) CMD 5 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =