Đề thi khảo sát chất lượng Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Nghi Lộc (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi khảo sát chất lượng Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Nghi Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHÂT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN ĐỀ SỐ 13 NĂM HỌC: 2017 - 2018 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A x3 9x2 26x 24 . Bài 2: (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức A 75 42017 42016 ... 42 5 25 chia hết cho 42018 . b) Cho x, y, z là 3 số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu x2 yz a ; y2 xz b ; z 2 xy c thì tổng ax by cz chia hết cho tổng a b c . Bài 3: (5,0 điểm) a a) Tìm a,b biết a b a.b và b khác 0 . b b) Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình: xy 4x 35 5y . c) Cho x y 1; x3 y3 a ; x5 y5 b . Chứng minh rằng: 5a a 1 9b 1. Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD . Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC (K CD) . Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD ( I CD ). BI cắt AC ở F , AK cắt BD ở E . a) Chứng minh EF song song với AB . b) Chứng minh AB2 CD.EF . c) Nội dung Cho biết ·ADC 2·ACD . Tính AC theo AD và CD . = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐỀ KHẢO SÁT CHÂT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC NĂM HỌC: 2017 - 2018 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: . Lời giải a) Gọi số chính phương có dạng M ab6 . Vì M là số chẵn chính phương nên M 4 suy ra ab64 hay a00 b6 4 Mà a004 nên b64 (Khi b chẵn thì b6 4 ) Suy ra b là số lẻ b) A x3 9x2 26x 24 x3 2x2 7x2 14x 12x 24 x2 x 2 7x x 2 12 x 2 x 2 x2 7x 12 x 2 x2 3x 4x 12 x 2 x 3 x 4 Vậy A x 2 x 3 x 4 . Bài 2: (5,0 điểm) a) Chứng minh rằng biểu thức A 75 42017 42016 ... 42 5 25 chia hết cho 42018 . b) Cho x, y, z là 3 số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu x2 yz a ; y2 xz b ; z 2 xy c thì tổng ax by cz chia hết cho tổng a b c . Lời giải a) Đặt 42017 42016 ... 42 4 1 B Ta có 4B 42018 42017 ... 43 42 4 4B B 42018 1
3. B 42018 1 :3 Thay B vào A ta có: A 75 42018 1 :3 25 A 25.42018 42018 Vậy A chia hết cho 42018 . b) Ta có ax by cz x2 yz x y 2 xz y z 2 xy z x3 y3 z3 3xyz x y 3 z3 3x2 y 3xy2 3xyz x y z x y 2 x y z z 2 3xy(x y z x y z x2 yz y2 xz z2 xy x y z a b c  a b c Vậy ax by cz  a b c . Bài 3: (5,0 điểm) a a) Tìm a,b biết a b a.b và b khác 0 . b b) Tìm nghiệm là các số tự nhiên của phương trình: xy 4x 35 5y . c) Cho x y 1; x3 y3 a ; x5 y5 b . Chứng minh rằng: 5a a 1 9b 1. Lời giải a a) a b a.b * b a 0 a 0 a a 2 2 Từ a.b a b a.b ab a 0 a b 1 0 b 1 2 b b b 1 0 b 1 Khi a 0;b 1 thay vào * đều không thỏa mãn. 1 Khi b 1 thay vào * ta có: a 1 a 2a 1 a . 2 1 Vậy a ; b 1. 2 b) Ta có xy 4x 35 5y
4. x 5 y 4 15 x, y ¥ x 0 Vì nên x 5 ¥ x 5 5 Để x 5 y 4 15 15 x 5 x 5 5;15 Khi x 5 5 thì y 4 3 hay x 0 ; y 7 . Khi x 5 15 thì y 4 1 hay x 10 ; y 5 . Vậy cặp nghiệm của phương trình là 0;7 ; 10;5 . c) Ta có 5a a 1 5 x3 y3 x3 y3 1 2 2 2 2 5 x y x xy y x y x xy y 1 5 x y x y 2 3xy x y x y 2 3xy 1 5 1 3xy 1 3xy 1 (Vì x y 1) 5 1 3xy 2 3xy 45 x2 y2 xy 10 1 Ta có 9b 1 9 x5 y5 1 9 x y x4 x3 y x2 y2 xy3 y4 1 2 9 x2 y2 xy x2 y2 xy 1 (Vì x y 1) 9 1 2xy 2 xy 1 xy 1(Vì x y 1) 9 4x 2 y 2 4xy 1 x 2 y 2 xy 1 9 5x2 y2 5xy 1 1 45 x2 y2 xy 10 2 Từ 1 và 2 ta có điều phải chứng minh. Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD . Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC ( K CD ). Qua B vẽ đường thẳng BI song song với AD ( I CD ). BI cắt AC ở F , AK cắt BD ở E .
5. a) Chứng minh EF song song với AB . b) Chứng minh AB2 CD.EF . c) Cho biết ·ADC 2·ACD . Tính AC theo AD và CD . Lời giải A B E F D K I C a) Ta có DI AB CK suy ra DK CI EB AB AB Vì AB//CD nên ( DK CI ) ED DK CI BF ( áp dụng hệ quả Ta lét với AB//CI ) FI EB BF Do đó hay EF //DI suy ra EF //AB (vì DI //AB ). ED FI CI FI b) Ta có (vì AB//CI ) AB FB CI FI 1 1 AB FB CD BI 1 AB FB EF FB BI DI Mà EF //DI nên DI BI FB EF BI DI AB Lại có DI AB nên 2 FB EF EF CD AB BI 2 Từ 1 và 2 suy ra hay AB CD.EF . AB EF FB c)
6. A x d M c y y α α α B C a N Đặt AM x ; MC y ; AC d ; AB c ; BC a AM AB x c x y Ta có DM là tia phân giác của góc B nên hay 3 MC BC y a c a CN a Trong MNC vuông tại N ta có y 4 cos 2cos c Thay 4 vào 3 ta có x 2cos c a a c Lại có AC d x y 2cos 2cos 2cos a c Vậy AC . 2cos = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =