Đề khảo sát Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề khảo sát Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁTHỌC SINH GIỎIMÔN TOÁN 8 ĐỀ SỐ 107 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thờigianlàm bài:150 phút Bài 1: (4,0điểm) 2x2 x 1 2x3 x x2 (1 x)(x2 x) 1. Cho biểuthức A 1 ( ). 1 x2 1 x3 2x 1 4 RútgọnbiểuthứcAvàchứng minh A 3 2. Tìm a vàb saochohaiđathức f (x) 4x3 3x2 2x 2a 3b và g(x) 5x4 4x3 3x2 2x 3a 2b cùng chia hếtchođathức (x 3) Bài 2: (4,0điểm) 1. Phântíchđathứcsauthànhnhântử: x(x 4)(x 6)(x 10) 128 2. Chứng minh rằngvớimọisốtựnhiên x thìgiátrịbiểuthứcsauluônviếtđượcbằngtổngcủahaisốchínhphương: A x2 2(x 1)2 3(x 2)2 4(x 3)2 Bài3:(3,5điểm) 2mx 1 1. Tìmgiátrịcủa mđểphươngtrìnhẩn x : m 2 cónghiệmduynhất. x 1 2x 9x 2. Giảiphươngtrình: 6 2x2 5x 3 2x2 x 3 3. Tìmcáccặpsốnguyên (x, y) thỏamãnphươngtrình: x2 xy 6x 5y 8 Bài 4:(6,5điểm)Cho hìnhvuông ABCD , AC và BD cắtnhautạiO . Gọi M làtrungđiểmcủacạnh BC , N làtrungđiểmcủacạnhCD . AN cắt DM tại I. Chứng minh rằng: 1. AN  DM và DO2 DI.DM 2. BI BA và I·BC 2.I·CD 3. IM làphângiáccủagócOIC . Bài5:(1,0điểm)Cho 1010sốnguyêndươngphânbiệt,mỗisốkhôngvượtquá 2018 . Chứng minh rằngtrongcácsốđóluôntồntại 2 sốcótổngbằng 2019 . = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁTHỌC SINH MÔN TOÁN 8 PHÒNG DG&ĐT HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ 107 Nămhọc: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0điểm) 2x2 x 1 2x3 x x2 (1 x)(x2 x) 1. Cho biểuthức A 1 ( ). 1 x2 1 x3 2x 1 4 RútgọnbiểuthứcAvàchứng minh A 3 2. Tìm a vàb saochohaiđathức f (x) 4x3 3x2 2x 2a 3b và g(x) 5x4 4x3 3x2 2x 3a 2b cùng chia hếtchođathức (x 3) Lờigiải 1 1. ĐKXĐ: x 1, x 2 2x2 x 1 x(2x2 x 1) (1 x)(x2 x) A 1 ( ). (1 x)(1 x) (1 x)(1 x x2) 2x 1 x (2x2 2x) (x 1) (2x2 2x) (x 1) x(1 x)(x 1) A 1 . 2 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x x ) 2x 1 (x 1)(2x 1) x(x 1)(2x 1) x(1 x)(x 1) A 1 . 2 (1 x)(1 x) (1 x)(1 x x ) 2x 1 2x 1 x(2x 1) x(1 x)(x 1) A 1 . 1 x 1 x x2 2x 1 2 (2x 1) 1 x x x(1 x) x(1 x)(x 1) A 1 . (1 x)(1 x x2) 2x 1 1 x x2 x x2 A 1 x x2 1 A x2 x 1 1 1 Vậyvớiđiềukiện x 1, x thì A 2 x2 x 1 Ta có
3. 4 1 4 3 4(x2 x 1) A 3 x2 x 1 3 3(x2 x 1) 4x2 4x 1 (2x 1)2 0 2 2 3( x x 1) 1 3 3 x 2 4 1 4 Khôngcódấu"=" xảyravì x A (đpcm) 2 3 2. Vìđathức f (x) chia hếtcho x 3 nên f (3) 0 Ta có: 4.33 3.32 2.3 2a 3b 0 2a 3b 87 (1) Vìđathức g(x) chia hếtcho x 3 nên g(3) 0 Ta có: 5.34 4.33 3.32 2.3 3a 2b 0 3a 2b 318 (2) 2a 3b 87 a 60 Từ (1) và (2) ta cóhệphươngtrình 3a 2b 318 b 69 Vậy a 60, b 69 Bài2: (4,0điểm) 1. Phântíchđathứcsauthànhnhântử: x(x 4)(x 6)(x 10) 128 2.Chứng minh rằngvớimọisốtựnhiên x thìgiátrịbiểuthứcsauluônviếtđượcbằngtổngcủahaisốchínhphương: A x2 2(x 1)2 3(x 2)2 4(x 3)2 Lờigiải 1. x(x 4)(x 6)(x 10) 128 (x2 10x)(x2 10x 24) 128 (x2 10x 12) 12 (x2 10x 12) 12 128 (x2 10x 12)2 144 128 (x2 10x 12)2 16 (x2 10x 8)(x2 10x 16) (x2 10x 8)(x 8)(x 2) 2. A x2 2(x 1)2 3(x 2)2 4(x 3)2 x2 2x2 4x 2 3x2 12x 12 4x2 24x 36 10x2 40x 50 (x2 10x 25)(9x2 30x 25)
4. (x 5)2 3x 5 2 Bài3: (3,5điểm) 2mx 1 1. Tìmgiátrịcủa mđểphươngtrìnhẩn x : m 2 cónghiệmduynhất. x 1 2x 9x 2. Giảiphươngtrình: 6 2x2 5x 3 2x2 x 3 3. Tìmcáccặpsốnguyên (x, y) thỏamãnphươngtrình: x2 xy 6x 5y 8 Lờigiải 1. ĐKXĐ x 1 Vớiđiềukiệntrên ta có: 2mx 1 m 2 2xm 1 (m 2)(x 1) x 1 2mx 1 mx m 2x 2 mx 2x 3 m x(m 2) 3 m (1) 3 m Tìmđược m 2 phươngtrình (1) cónghiệmduynhất x m 2 Phươngtrìnhđãchocónghiệmduynhấtkhi 3 m 1 1 3 m m 2 m m 2 2 1 Vậy m 2 , m thìphươngtrìnhđãchocónghiệmduynhất. 2 2x 9x 2. 6 2x2 5x 3 2x2 x 3 3 ĐKXĐ x 1, x 2 Ta thấy x 0 khôngphảilànghiệmcủaphươngtrình Xét x 0 ta có: 2x 9x 2 9 6 6 2 2 3 3 2x 5x 3 2x x 3 2x 5 2x 1 x x 3 2 9 Đặt 2x 3 t , ta cóphươngtrình 6 x t 2 t 2 2t 4 9t 18 6t2 24
5. 2 t 3 6t2 11t 10 0 (3t 2)(2t 5) 0 5 t 2 2 3 2 Vớit 2x 3 VN 3 x 3 3 5 3 5 x (TM ) Vớit 2x 3 4 2 x 2 x 2 (TM ) 3  Tậpnghiệmcủaphươngtrìnhlà S ; 2 4  3. x2 xy 6x 5y 8 x2 6x 8 xy 5y y(x 5) x2 6x 8 Xét x 5 VN x2 6x 8 3 Xét x 5 y x 1 x 5 x 5 Vì y Z nên x Z và x 5 làướccủa 3. MàƯ(3) 1; 3 Ta cóbảngsau x 5 3 1 1 3 x 2 4 6 8 3 0 0 8 8 y x 1 x 5 Vậycáccặpgiátrị (x, y) cầntìmlà (2; 0), (4; 0), (6; 8), (8; 8) Bài4: (6,5điểm)Cho hìnhvuông ABCD , AC và BD cắtnhautạiO . Gọi M làtrungđiểmcủacạnh BC , N làtrungđiểmcủacạnhCD . AN cắt DM tại I. Chứng minh rằng: 1. AN  DM và DO2 DI.DM 2. BI BA và I·BC 2.I·CD 3. IM làphângiáccủagócOIC . Lờigiải
6. 1. AN  DM và DO2 DI.DM Chứng minh AND DMC (c.g.c) D· AN C· DM Chứng minh AN  DM Chứng minh DIN ∽ DCM (g.g) DI.DM DN.DC (1) 1 Chứng minh DO2 DC2 DN.DC (2) 2 Từ (1) và (2) DO2 DI.DM 2. BI BA và I·BC 2.I·CD Gọi K làgiaođiểmcủa IM với AB Chứng minh CDM BKM (g.c.g) CD BK AB BK AIK vuôngtại I có IB làtrungtuyến IB AB (đpcm) IB AB BI BC BIC cântại B I·BC 1800 2.B· CI 2.B· CD 2.B· CI 2.(B· CI I·CD) 2.B· CI 2.I·CD (đpcm) 3. IM làphângiáccủagócOIC . MN, OM làđườngtrungbìnhcủa CBD MN PDB PCD M· NC 450, B· OM 450 DI.DM DO2 DNM ∽ DIC (c.g.c) D· IO D· OM O· IM B· OM 450
7. O· IM M· IC 450 IM làphângiáccủagócOIC . Bài5: (1,0điểm)Cho 1010sốnguyêndươngphânbiệt,mỗisốkhôngvượtquá 2018 . Chứng minh rằngtrongcácsốđóluôntồntại 2 sốcótổngbằng 2019 . Lờigiải Xéttập A a1; a2; a3;..; a1010 thỏamãn1 ai 2018 i 1; 2;...; 1010 vàtập B b1; b2; b3;..; b1010 vớibi 2019 ai 1 bi 2018 i 1; 2;...; 1010 Tổngsốphầntửcủahaitậphợp A và B là 2.1010 2020 màcácsố ai, bi thuộctậpsốnguyêntừ1 đến 2018 gồm 2018 phầntử. Do cácsố ai phânbiệtvớinhau, cácsốbi phânbiệtvớinhaunêncóítnhấtmộtsố ở tập A trùngvớimộtsố ở tập B . Xéttrườnghợp am bm am 2019 am 2am 2019 (vôlí) Xéttrườnghợp am bn (m khác n) am 2019 an am an 2019 Vậytrongtậphợp A cóítnhấtmộtcặpsốcótổngbằng 2019 (đpcm). = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =