Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Quận Chương Mỹ (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Quận Chương Mỹ (Có đáp án)

1. PHềNG GD&ĐT QUẬN CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MễN TOÁN 8 ĐỀ 49 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phỳt Bài 1: (4,5 điểm) 2x 9 x 3 2x 1 Cho biểu thức: A (với x 2 và x 3) x2 5x 6 x 2 3 x a) Rỳt gọn biểu thức A; b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi 2x 1 3; x2 x 1 c) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P .A nhận giỏ trị nguyờn; x 1 x d) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A . x 2 Bài 2: (3 điểm) 1) Xỏc định cỏc số a,b biết 2x 3 ax b chia cho x 1 dư 6, chia cho x 2 dư 21. 2) Giải phương trỡnh: x 7 x 5 x 4 x 2 72. Bài 3: (3 điểm) 1) Cho M x 5 x a) Chứng minh rằng M chia hết cho 30 với mọi x ; b) Chứng minh rằng M 2 khụng là số chớnh phương với mọi x . 2) Tỡm cỏc số nguyờn dương x,y thỏa món: x2y 2xy y 32x. Bài 4: (2,5 điểm) a b c d 1) Cho a,b,c 0. Chứng minh: 1 2. a b c b c d c d a d a b 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của H 2x2 y2 2xy 2y 2021 Bài 5: (7 điểm) Cho tam giỏc A BC cú Bã AC 90,AB AC, đường cao A H . Gọi M ,N lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cạnh A B và A C . a) Chứng minh: MN AH; b) Chứng minh rằng: AM .AB AN.AC AH 2; c) Gọi K là giao điểm của NM và BC . Chứng minh rằng KB.KC KH 2; d) Gọi O là trung điểm của BC,I là giao điểm của MN và A H . Chứng minh rằng OI vuụng gúc với AK ; AH 40 AB e) . Tớnh tỉ số . AO 41 AC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (4,5 điểm) 2x 9 x 3 2x 1 Cho biểu thức: A (với x 2 và x 3) x2 5x 6 x 2 3 x a) Rỳt gọn biểu thức A; b) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi 2x 1 3; x2 x 1 c) Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để P .A nhận giỏ trị nguyờn; x 1 x d) Tỡm cỏc giỏ trị của x để A . x 2 Lời giải 2x 9 x 3 2x 1 a) A x2 5x 6 x 2 3 x 2x 9 x 3 2x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 2x 9 x 3 x 3 2x 1 x 2 x 3 x 2 x2 3x 2 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 b) Ta cú A với x 2 và x 3 x 3 2x 1 3 2x 1 3 hoặc 2x 1 3 x 2 hoặc x 1 + Với x 2 khụng thỏa món điều kiện khụng thay vào A. 1 1 1 + Với x 1 thỏa món điều kiện thay vào A ta được A . 1 3 2 x2 x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 c) P .A . x 1 x 1 x 3 x 3 (với x 1;x 2 và x 3) x2 x 1 7 P x 2 x 3 x 3 7 Để P nguyờn nguyờn x 3 là một ước của 7 x 3 x 3 7 1 1 7
3. x 4 2 4 10 Kết hợp với điều kiện xỏc định ta được x 4; 4;10 thỏa yờu cầu bài toỏn. 1 d) Từ điều kiện suy ra: x 1 x 2 x x 3 x (thỏa điều kiện) 2 Bài 2: (3 điểm) 1) Xỏc định cỏc số a,b biết 2x 3 ax b chia cho x 1 dư 6, chia cho x 2 dư 21. 2) Giải phương trỡnh: x 7 x 5 x 4 x 2 72. Lời giải 1) 2x 3 ax b chia cho x 1 dư 6 2x 3 ax b x 1 f x 6 2 a b 6 b a 4 (1) 2x 3 ax b chia cho x 2 dư 21. 2x 3 ax b x 1 g x 21 16 2a b 21 2a b 5 (2) Từ (1) b a 4 b 4 a thay vào (2) 2a b 5 ta được 2a 4 a 5 a 3. Với a 3 b 1 Vậy a 3;b 1 thỏa yờu cầu bài toỏn. 2) x 7 x 5 x 4 x 2 72. x2 9x 14 x2 9x 20 72 Đặt t x2 9x 17 Phương trỡnh trở thành t 3 t 3 72 t 2 81 t 9 Với t 9 x2 9x 17 9 x2 9x 8 0 x 1 x 8 0 x 1 hoặc x 8 2 2 2 9 25 Với t 9 x 9x 17 9 x 9x 26 0 x 0 (vụ nghiệm) 2 4 Vậy S 1; 8 Bài 3: (3 điểm) 1) Cho M x 5 x a) Chứng minh rằng M chia hết cho 30 với mọi x ; b) Chứng minh rằng M 2 khụng là số chớnh phương với mọi x .
4. 2) Tỡm cỏc số nguyờn dương x,y thỏa món: x2y 2xy y 32x. Lời giải 1) Ta cú M x 5 x x x 4 1 x x 1 x 1 x2 1 x x 1 x 1 x2 4 5 x x 1 x 1 x2 4 5x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 x 2 5x x 1 x 1 + Ta cú x x 1 x 1 x 2 x 2 là tớch của 5 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 30. + x x 1 x 1 là tớch của 3 số nguyờn liờn tiếp nờn chia hết cho 6 5x x 1 x 1 chia hết cho 30. Suy ra M x 5 x chia hết cho 30 với mọi x . b) Xột biểu thức M 2 x 5 x 2 Theo cõu a ta cú M luụn chia hết cho 30 với mọi x là số nguyờn M chia hết cho 30 với mọi x là số tự nhiờn. Số tận cựng của M là 0. Số tận cựng của M 2 là 2. Mà tất cả cỏc số chớnh phương chỉ cú thể tận cựng là 0;1; 4;5;6;9 Vậy M 2 khụng là số chớnh phương với mọi x . 2) x2y 2xy y 32x. 2 y x 1 32x 32x y (Do x nguyờn dương nờn x 1 0) 2 x 1 2 Mà x và x 1 là nguyờn tố cựng nhau nờn 32 chia hết cho x 1 2 2 32 25 x 1 22 hoặc x 1 24 (vỡ x 1 1) x 1 2 x 1 x 1 22 x 3 Với x 1 y 8 Với x 3 y 6 Bài 4: (2,5 điểm)
5. a b c d 1) Cho a,b,c 0. Chứng minh: 1 2. a b c b c d c d a d a b 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của H 2x2 y2 2xy 2y 2021 Lời giải a a a d 1) Ta cú 1 (1) a b c a b c a b c d a a Mặt khỏc: (2) a b c a b c d Từ (1) và (2) ta cú a a a d (3) a b c d a b c a b c d b b b a Tương tự: (4) a b c d b c d a b c d c c b c (5) a b c d c d a a b c d d d d c (6) a b c d d a b a b c d Cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta cú a b c d 1 2. (đpcm) a b c b c d c d a d a b 2) Ta cú H 2x2 y2 2xy 2y 2021 2 2 x y 1 x 1 2019 2019 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1;y 2 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của H bằng 2019 khi x 1;y 2 Bài 5: (7 điểm) Cho tam giỏc A BC cú Bã AC 90,AB AC, đường cao A H . Gọi M ,N lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cạnh A B và A C . a) Chứng minh: MN AH; b) Chứng minh rằng: AM .AB AN.AC AH 2; c) Gọi K là giao điểm của NM và BC . Chứng minh rằng KB.KC KH 2; d) Gọi O là trung điểm của BC,I là giao điểm của MN và A H . Chứng minh rằng OI vuụng gúc với AK ; AH 40 AB e) . Tớnh tỉ số . AO 41 AC
6. Lời giải A J N I M K B H O C a) Ta cú HM  A B tại M (vỡ M là hỡnh chiếu của H trờn AB) à MH 90 HN  A C tại M (vỡ N là hỡnh chiếu của H trờn AC) à NH 90 Xột tứ giỏc A MHN cú à MH à NH Mã AN 90 AMHN là hỡnh chữ nhật AH MN (tớnh chất hỡnh chữ nhật) b) Ta cú A MHN là hỡnh chữ nhật (chứng minh trờn) à HM à NM (tớnh chất hỡnh chữ nhật) Mà à HM ABH (cựng phụ với Hã AB) à NM à BH hay à NM à BC Xột hai tam giỏc A NM và A BC cú Gúc A chung, à NM à BC Suy ra A NM ∽ A BC (g – g) AN AM AM .AB AN.AC AB AC Mà AN.AC AH 2 Suy ra AM .AB AH 2 c) Xột hai tam giỏc K HM và K NH cú Gúc K chung, Kã HM Kã NH Hã AB Do đú K HM ∽ K NH (g – g) KH KM KH 2 KM .KN (1) KN KN Xột hai tam giỏc K M B và K CN cú Gúc K chung, Kã MB Kã CN à MN Do đú K M B ∽ K CN (g – g)
7. KM KB KM .KN KB.KC (2) KC KN Từ (1) và (2) suy ra KH 2 KB.KC d) Tam giỏc A BC vuụng tại A, trung tuyến A O OA OB OC (tớnh chất trung tuyến trong tam giỏc vuụng) OAC cõn tại O Oã AC Oã CA (tớnh chất tam giỏc cõn) Mà Oã CA Ã MN ANM đồng dạng với ABC Oã AC Ã MN Mà Ã NM Ã MN 90 Oã AC Ã NM 90 OA  MN hay OA  K N Xột tam giỏc K A O cú AH  KO,KN  OA mà A H cắt K N tạiI I là trực tõm của KAO OI  AK AH 40 AH AO e) t AO 41 40 41 AH 40t;AO 41t Xột tam giỏc HA O vuụng tại H ta cú: 2 2 OH 2 OA2 AH 2 41t 40t 81t OH 9t Mà OA OA OC (tớnh chất trung tuyến tam giỏc vuụng ABC) OC 41t; HC 41t 9t 50t Xột hai tam giỏc HA C và A BC cú Ã HC Bã AC 90 Cà là gúc chung Do đú HA C ∽ A BC (g – g) HA HC AB HA 40t 4 AB AC AC HC 50t 5 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =