Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Can Lộc (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Can Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN CAN LỘC ĐỀ THI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (0,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A x4 13x2 y2 4y4 a4 a5 a 1 b) Rút gọn biểu thức B a4 a3 2a2 a 1 Bài 2: (0,0 điểm) x4 y4 1 a) Cho các số a,b, x, y là các số thực thỏa mãn: x2 y2 1và a b a b x6 y6 2 Chứng minh rằng: a3 b3 (a b)3 b)Tìm các số tự nhiên x, y, z x y z sao cho: xyz xy yz zx x y z 2020 Bài 3:(0,0 điểm) 137 x 150 x 159 x 164 x a) Giải phương trình : 10 17 15 13 11 b) Một người đi xe từ A đến B đúng giờ đã định. Sau khi đi 10km đầu trong 12phút, anh ta tính ra rằng nếu tiếp tục đi với vận tốc như vậy thì sẽ đến sớm hơn dự định là 24 phút. Còn nếu giảm vận tốc đi 5km / h thì anh ta vẫn đến B sớm hơn 10 phút so với giờ đã định. Hãy tính khoảng cách AB . Bài 4:(0,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , có đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . Đường thẳng vuông góc với DE tại E cắt BC tại K . Chứng minh AD.AB AE.AC và K là trung điểm của HC. Bài 5:(0,0 điểm) Cho tam giác đều ABC . Đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại D và E . Gọi M là trọng tâm của tam giác BDE và N là trung điểm của AE . Chứng minh: N· MC 600 Bài 6: (0,0 điểm) a) Cho f x =ax4 +bx3 +cx2 +dx+e a,b,c,d,e Z . Chứng minh rằng : f (x)5với mọi x Z khi và chỉ khi các hệ số a,b,c,d,e đều chia hết cho 5. b) Cho 5 đoạn thẳng có độ dài từ 10cm đến 45cm . Chứng minh rằng luôn chọn được 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng đã cho lập thành 3cạnh của một tam giác. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CAN LỘC Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (0,0 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A x4 13x2 y2 4y4 a4 a5 a 1 b)Rút gọn biểu thức B a4 a3 2a2 a 1 Lời giải a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A x4 13x2 y2 4y4 (x4 4x2 y2 4y4 ) 9x2 y2 (x2 y2 )2 (3xy)2 (x2 3xy y2 ).(x2 3xy y2 ) a4 a5 a 1 b) Ta có B (ĐK: a R ) a4 a3 2a2 a 1 a4 ( 1 a) a 1 (a 1)(1 a4 ) (a 1)(1 a2 )(1 a2 ) B a4 a3 a2 a2 a 1 (a2 a 1)(a2 1) (a2 a 1)(a2 1) a3 a2 a 1 a2 a 1 a3 a2 a 1 Vậy B a2 a 1 Bài 2: (0,0 điểm) x4 y4 1 a) Cho các số a,b, x, y là các số thực thỏa mãn: x2 y2 1và a b a b x6 y6 2 Chứng minh rằng: a3 b3 (a b)3 b) Tìm các số tự nhiên x, y, z x y z sao cho: xyz xy yz zx x y z 2020 Lời giải x4 y4 1 a) Từ giả thiết a b a b ab 0;a b 0 4 4 bx4 ay4 1 (a b)(bx ay ) ab ab a b a2 y4 b2 x4 abx4 aby4 ab a2 y4 b2 x4 ab(x4 y4 1) 0 2 2 2 2 2 4 4 2 2 x y 1 (x y ) 1 x y 2x y 1 a 2 y4 b2 x4 2abx2 y2 0
3. x2 y2 (ay2 bx2 )2 0 ay2 bx2 a b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x2 y2 x2 y2 1 (Do x2 y2 1) a b a b a b x6 y6 1 x6 y6 2 (đpcm) a 3 b3 (a b)3 a 3 b3 (a b)3 b) Ta có : xyz xy yz zx x y z 2020 (xyz xy) (yz y) (zx x) z 1 2019 xy(z 1) y(z 1) x(z 1) z 1 2019 (z 1)(xy y x 1) 2019 (x 1)(y 1)(z 1) 2019 (1) Mà x, y, z N; x y z x 1 y 1 z 1 1(2) x 1 673 x 674 Từ (1)&(2) y 1 3 y 4 (T / M ) z 1 1 z 2 Vậy x; y; z 674;4;2 Bài 3: (0,0 điểm) 137 x 150 x 159 x 164 x a) Giải phương trình : 10 17 15 13 11 b) Một người đi xe từ A đến B đúng giờ đã định. Sau khi đi 10km đầu trong 12phút, anh ta tính ra rằng nếu tiếp tục đi với vận tốc như vậy thì sẽ đến sớm hơn dự định là 24 phút. Còn nếu giảm vận tốc đi 5km / h thì anh ta vẫn đến B sớm hơn 10 phút so với giờ đã định. Hãy tính khoảng cách AB . Lời giải 137 x 150 x 159 x 164 x a) Ta có: 10 17 15 13 11 137 x 150 x 159 x 164 x ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0 17 15 13 11 120 x 120 x 120 x 120 x 0 17 15 13 11 1 1 1 1 (120 x)( ) 0 17 15 13 11 1 1 1 1 120 x 0 vì 0 17 15 13 11 x 120 Vậy phương trình có tập nghiệm S 120
4. 1 2 1 b) Đổi 12' h;24' h;10' h; 5 5 6 Gọi khoảng cách từ A đến B là x km . ĐK x 10 . Khi đó 1 Vận tốc xe đi 10km đầu trong 12 phút là:10 : 50(km / h) 5 Quãng đường còn lại xe đi với vận tốc giữ nguyên là x 10 km . x 10 Thời gian xe đi hết quãng đường còn lại khi giữ nguyên vận tốc là: (h) 50 x 10 x 10 Thời gian xe đi hết quãng đường còn lại khi giảm vận tốc 5km / h là: (h) 50 5 45 x 10 x 10 2 1 Theo bài ra ta có phương trình: 45 50 5 6 x 10 x 10 7 45 50 30 1 1 7 (x 10) 45 50 30 1 7 (x 10) 450 30 7 1 x 10 : 30 450 x 10 105 x 115 (T / M ) Vậy quãng đường AB là 115 km Bài 4: (0,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , có đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC . Đường thẳng vuông góc với DE tại E cắt BC tại K . Chứng minh AD.AB AE.AC và K là trung điểm của HC. Lời giải Xét ADH & AHB có: A ·ADH ·AHB 900  E  · D DAH chung  ADH ∽ AHB(g.g) B H K C AD AH (cạnh tương ứng) AH AB AH 2 AD.AB (1) Tương tự AH 2 AE.AC (2)
5. Từ (1) và (2) suy ra AD.AB AE.AC ( AH 2 ) AD AE AC AB Xét ADE & ACB có: D· AE chung  AD AE  ADE∽ ACB(c.g.c) (cmt) AC AB  ·ADE Cµ (góc tương ứng) HE  AC Có  HE//AB AB  AC  ·ADE D· EH (slt) Mà D· EH H· EK D· EK 900 E· HK Cµ 900 ( HEC vuông tại E ) ·ADE Cµ (cmt) H· EK E· HK KHE cân tại K KH KE (3) Tương tự K· EC Cµ KEC cân tại K KC KE (4) Từ (3)&(4) KH KC ( KE) Suy ra K là trung điểm của HC . Bài 5: (0,0 điểm) Cho tam giác đều ABC . Đường thẳng song song với AC cắt AB và BC lần lượt tại D và E . Gọi M là trọng tâm của tam giác BDE và N là trung điểm của AE . Chứng minh : N· MC 600 Lời giải A AB BC Ta có ABC đều (gt) D · · · 0 ABC BAC BCA 60 · · BDE BAC N Có DE / / AC · · BED BCA H M B· ED B· DE D· BE 600 BDE đều B E C Mà M là trọng tâm của BDE nên M đồng thời là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đườn tròn ngoại tiếp của BDE Gọi H là trung điểm của DE . Khi đó HN là đường trung bình của ADE
6. HN / / AD N· HD H· DB 600 (slt) 1 HN 1 HN AD 2 AD 2 M là trọng tâm của của BDE ; H là trung điểm của DE 2 MH 1 BM BH 3 BM 2 Mà M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE MH MH MH 1 ME MD MB 2 Lại có M là tâm dường tròn ngoại tiếp BDE nên · 1 · 0 BDM BDE 30 2 · · ABM CBM Do đó M· DA B· DA B· DM 1800 300 1500 M· HN M· HD D· HN 900 600 1500 M· DA M· HN ( 1500 ) Xét MDA& MHN có M· DA M· HN MH NH MDA∽ MHN (c.g.c) MD DA MN MH NH (1) MA MD DA Ta chứng minh được MBA MBC (c.g.c) MA MC (cạnh tương ứng)(2) AB BC Lại có AD EC (3) BD BE MN MH HN 1 Từ (1),(2)&(3) MC ME EC 2 MNH ∽ MCE (c.c.c) N· MH E· MC (góc tương ứng) N· MC N· MH H· MC E· MC H· MC H· ME Mặt khác MHE vuông tại H (MH  DE) 1 1 Và M· EH B· EH 600 300 ( EM là tia phân giác của B· ED ) 2 2 Suy ra N· MC H· ME 600 Bài 6: (0,0 điểm)
7. a) Cho f x =ax4 +bx3 +cx2 +dx+e a,b,c,d,e Z . Chứng minh rằng : f (x)5với mọi x Z khi và chỉ khi các hệ số a,b,c,d,e đều chia hết cho 5. b) Cho 5 đoạn thẳng có độ dài từ 10cm đến 45cm . Chứng minh rằng luôn chọn được 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng đã cho lập thành 3cạnh của một tam giác. Lời giải a)TH1: Nếu a;b;c;d;e5 thì ax4 5;bx3 5;cx2 5;dx5;e5x f x =ax4 +bx3 +cx2 +dx+e 5 x TH2: Ngược lại f (x)5x thì a;b;c;d;e5 f (0)5 e5 e5 e5 f (1)5 a b c d e5 2(a c)5 a c5 Ta có f (x)5x nên f ( 1)5 a b c d e5 2(b d)5 b d5 f (2)5 16a 8b 4c 2d e5 8(4a c)5 4a c5 f ( 2)5 16a 8b 4c 2d e5 4(4b d)5 4b d5 e5 e5 3a5 a5 3b5 b5 a c5 c5 b d5 d5 Vậy f x =ax4 +bx3 +cx2 +dx+e 5x Z . a,b,c,d,e  5 b) Giả sử ngược lại, tồn tại 5 đoạn thẳng a,b,c,d,e có độ dài từ 10cm đến 45 cm sao cho 3 đoạn thẳng bất kỳ trong 5 đoạn đó đều không lập thành 3 cạnh của một tam giác. Không mất tính tổng quát, giả sử 10 a b c d e 45 Khi đó ta có: a b c;b c d;c d e Từ 10 a b c a b 10 10 20 d c b 20 10 30 e c d 20 30 50 trái với giả thiết e 45 Vậy trong 5 đoạn thẳng có độ dài từ 10 đến 45 luôn chọn được 3 trong 5 đoạn thẳng đã cho lập thành 3 cạnh của một tam giác. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =