Đề thi chọn Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Trực Ninh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRỰC NINH NĂM HỌC: 2018 – 2019 MÔN TOÁN - LỚP: 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thingày 11 tháng 4 năm 2019 (Đềthicó 01 trang) (Thờigianlàmbài: 120 phút, khôngkểthờigiangiaođề) .. Bài 1: (4,5điểm) 1. Phântíchthànhnhântử: a) x4 2019x2 2018x 2019 b) x2 4x 4y 2xy y2 5 2. Giảiphươngtrình: x 1 x 2 x 3 x 2019 ... 2019 2020 2019 2018 2 Bài 2: (3,0điểm) 1. Cácsốthực a,b,c,d thỏamãnđồngthờicácđiềukiện abc d 1, bcd a 2, cda b 3, và dab c 6.Chứng minh: a b c d 0 . 2. Giảsử x, y, z làcácsốthựcthỏamãn: x y z 4 và x2 y2 z2 6. 2 Chứng minh mỗisố x, y, z đềuthuộcđoạn ;2 . 3 Bài3:(3,0 điểm) 1. Tìmđathứcdưkhi chia đathức x20 x10 x5 1chođathức x2 1 2. Tìmcáccặpsốnguyên x, y thỏamãn 2x2 3y2 4x 19 Bài 4:(8,0 điểm) Cho hìnhvuông ABCD cócạnhbằng a,gọiO làgiaođiểmcủahaiđườngchéo AC và 1 BD, I làtrungđiểmcủaOB. TrêntiađốicủatiaCD lấyđiểm E saochoCE CB.Từ D kẻ 2 DM vuônggócvới BE (M thuộc BE), DM cắt BC tại H. 1. Chứng minhV AOI ∽ VBCE. 2. Chứng minh B· IE 900 3.Chứng minh MA làtiaphângiáccủa B· MD. 4.GọiG làgiaođiểmcủa AC và DM , BG cắt IE tại P. HãytínhdiệntíchVGHP theo a. Bài5:(1,5điểm)Cho a,b,c làđộdài3 cạnhcủamột tam giác. 3 a b c Chứng minh 2. 2 b c c a a b = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Họtênthísinh: Chữkígiámthị 1: . .. Sốbáodanh: Chữkígiámthị 2: ..
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH Nămhọc: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,5điểm) 1. Phântíchthànhnhântử: a) x4 2019x2 2018x 2019 b) x2 4x 4y 2xy y2 5 2. Giảiphươngtrình: x 1 x 2 x 3 x 2019 ... 2019 2020 2019 2018 2 Lờigiải 1. Phântíchthànhnhântử: a) x4 2019x2 2018x 2019 (x4 x) 2019x2 2019x 2019 x(x3 1) 2019(x2 x 1) x(x 1)(x2 x 1) 2019(x2 x 1) (x2 x 1)(x2 x 2019) b) x2 4x 4y 2xy y2 5 (x2 2xy y2 ) 4(x y) 5 (x y)2 4(x y) 4 9 (x y 2)2 33 (x y 5)(x y 1) 2. Giảiphươngtrình: x 1 x 2 x 3 x 2019 ... 2019 2020 2019 2018 2 x 1 x 2 x 3 x 2019 1 1 1 ... 1 0 2020 2019 2018 2 x 2021 x 2021 x 2021 x 2021 ... 0 2020 2019 2018 2 1 1 1 1 (x 2021) ... 0 2020 2019 2018 2 1 1 1 1 Chứng minh được ... 0 2020 2019 2018 2 Do đótìmđượcvà KL: x 2021 Bài 2: (3,0điểm) 1. Cácsốthực a,b,c,d thỏamãnđồngthờicácđiềukiện abc d 1, bcd a 2, cda b 3, và dab c 6.Chứng minh: a b c d 0 . 2. Giảsử x, y, z làcácsốthựcthỏamãn: x y z 4 và x2 y2 z2 6.
3. 2 Chứng minh mỗisố x, y, z đềuthuộcđoạn ;2 . 3 Lờigiải 1. Giảsử a b c d 0, suyra abc bcd cda dab 0 Thay d a b c ta được b2c bc2 a2c ac2 abc a2b ab2 abc 0 Hay (a b)(b c)(c a) 0 Xét 3 trườnghợp: a b bcd b 2và bcd b 3, mâuthuẫn . a d bcd d 2và bcd d 1, mâuthuẫn KL: Vậy a b c d 0 2. Giảsử x, y, z làcácsốthựcthỏamãn: x y z 4 và x2 y2 z2 6. Ta có: y z 4 x và y2 z2 6 x2 1 2 Theo BĐT Cosi ta có y2 z2 y z 2 1 2 Hay 6 x2 4 x 2 (3x 2)(x 2) 0 2 x 2 3 Tươngtựvới y, z. Ta cóđiềuphảichứng minh. Bài3:(3,0 điểm) 1. Tìmđathứcdưkhi chia đathức x20 x10 x5 1chođathức x2 1 2. Tìmcáccặpsốnguyên x, y thỏamãn 2x2 3y2 4x 19 Lờigiải 1. Gọiđathứcdưtrongphép chia là ax b x20 x10 x5 1 (x2 1)Q(x) ax b Xétvới x 1 ta được a b 4 Xétvới x 1 ta được a b 2 Tìmđược a 1vàb 3 Kếtluận: Vậyđathứcdưlà x 3 2. Ta có: 2x2 3y2 4x 19 2x2 4x 2 3y2 19 2 2(x 1)2 3(7 y2 ) (*) Vếtrái (*) làsốchẵn do đóvếphải (*) cũnglàsốchẵn, Suyra y2 làsốlẻvàvếtrái (*) 0 nênvếphải (*) 0 Do đó 7 y2 0 , Suyra y2 7 Từđótìmđược y 1, y 1 Khiđó 2(x 1)2 18 (x 1)2 9 . Tìmđược x 2, x 4
4. Thửlạivàkếtluậncáccặpsốnguyêncầntìm: (x, y) (2;1);(2; 1);( 4;1);( 4; 1) Bài 4:(8,0 điểm) Cho hìnhvuông ABCD cócạnhbằng a, gọiO làgiaođiểmcủahaiđườngchéo AC và 1 BD, I làtrungđiểmcủaOB. Trêntiađốicủatia CD lấyđiểm E saochoCE CB.Từ D kẻ 2 DM vuônggócvới BE (M thuộc BE), DM cắt BC tại H. 1. Chứng minhV AOI ∽ VBCE. 2. Chứng minh B· IE 900 3.Chứng minh MA làtiaphângiáccủa B· MD. 4.GọiG làgiaođiểmcủa AC và DM , BG cắt IE tại P. HãytínhdiệntíchVGHP theo a. Lờigiải CE 1 1. Chứng minh CB 2 OI 1 Chứng minh (vì I làtrungđiểmcủaOB,màOA OB ) OA 2 CE OI OA OI Từđósuyra hay CB OA CB CE Chứng minh V AOI ∽ VBCE(c.g.c) 2. Chứng minh C· BE C· DH (cùngphụvới B· ED ) Từđóchứng minh VBCE ∽ VDCH (g.g) BC CE Suyrađược DC CH Kếthợpvới BC DC suyraCE CH 1 Từđósuyra H làtrungđiểmcủa BC (vìcóCE CB ) 2 Chứng minh IH làđườngtrungbìnhcủaVBOC Suyra IH //OC KếthợpvớiOC  BD Suyrađược IH  BD (1)
5. Chứng minh H làtrựctâmcủaVBDE (giaođiểmhaiđườngcao DM và BC ) Suyrađược EH  BD (2) Từ (1) và (2) chứng minh được E, H, I thẳnghàng Từđósuyra EI  BD hay B· IE 900 . 3.Chứng minh VBIE ∽ VBMD(g.g) BE BD Từđósuyra BI BM Chứng minh VBIM ∽ VBED(c.g.c) Suyra B· IM B· ED Kếthợpvới ·AIO B· EC (vìV AOI ∽ VBCE ) Suyrađược ·AIO B· IM Chứng minh D· IM B· IM 1800 (bađiểm B, I, D thẳnghàng) Từđósuyra D· IM ·AIO 1800 Suyrađược M , I, Athẳnghàng Chứng minh B· MI B· DC (vìVBIM ∽ VBED ) Chứng minh B· DC 450 (vì ABCD làhìnhvuông) Từđósuyra B· MI B· DC 450 Chứng minh I·MD 450 (vì B· MI 450 , B· MD 900 ) Suyrađược MI làtiaphângiáccủa B· MD Kếthợpvớibađiểm M , I, Athẳnghàng Suyrađược MA làtiaphângiáccủa B· MD. 1 1 4. Chứng minh S S a2 (1) BDC 2 ABCD 2 1 Chứng minh S S (2) (hai tam giácchungđườngcaokẻtừ D xuống BC vàcó GHB 2 GBC 1 BH BC ) 2 Chứng minh G làtrọngtâmcủa tam giác BCD 1 SuyraGH DH 3 1 Từđósuyra S S (3) (hai tam giáccóchungđườngcaokẻtừ B xuống DH và GBC 3 DBC 1 GH DH ) 3 1 Chứng minh P làtrungđiểmcủa BG (IP / /OG, I làtrungđiểmcủaOB) nênGP GB 2 1 1 Lạicó: S S (4) (hai tam giáccóchungđườngcaokẻtừ H xuống BG vàGP GB) GHP 2 GHB 2 Từ (1); (2); (3); (4) suyrađược:
6. 1 1 1 1 1 S S S S S a2 (đvdt) GHP 2 GHB 4 GBC 12 DBC 24 ABCD 24 Bài5:(1,5 điểm)Cho a,b,c làđộdài 3 cạnhcủamột tam giác. 3 a b c Chứng minh 2. 2 b c c a a b Lờigiải a b c 1 1 1 Ta có: (a b c) 3 b c c a a b b c c a a b 1 1 1 9 3 Mà (a b c) 3 3 b c c a a b 2 2 Do vaitrò a,b,c nhưnhaunêncóthểgiảsử a b c a b c a c c c Suyra 1 b c c a a b a c c a a b a b Do a,b,c làđộdài 3 cạnhcủa tam giácnên a b c c Suyra1 1 1 2 a b 3 a b c Kếtluận: 2. 2 b c c a a b = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =