Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Thành phố Sầm Sơn (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Thành phố Sầm Sơn (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 THÀNH PHỐ SẦM SƠN NĂM HỌC: 2019 - 2020 ĐỀ THI THỬ SỐ 92 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) x2 2x 2x2 1 2 Câu 1: Cho biểuthức: M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rútgọnbiểuthức M. b) Tìmgiátrịnguyêncủa x đểbiểuthức M nhậngiátrịnguyên. 3 x 3 3 Câu 2: a) Giảiphươngtrình: x 3 16 x 2 b) Tìmcácnghiệmtựnhiên x, y củaphươngtrình: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 Câu 3: a) Cho n làsốnguyêndươngvà mlàướcnguyêndươngcủa 2n2 . Chứngminhrằng n2 m khôngphảilàsốchínhphương. b) Cho p, q làhaisốnguyêntốsaocho p q 3và p q 2. Câu 4: Cho ABC vuôngtại A AB AC , đườngcao AH H BC . Trêntia HC lấđiểm D saocho HA HD . Đườngvuônggócvới BC tại D cắt AC tại E . a) Chứngminh BEC : ADC . Tínhđộdàiđoạnthẳng BE theo m AB . b) Gọi M làtrungđiểmcủađoạnthẳng BE . Chứngminh BHM : BEC . Tínhsốđogoác AHM . GB HD c) Tia AM cắt BC tạiG . Chứngminh . BC AH HC Câu 5: Cho x, y, z làcácsốthựcdươngthỏamãn xyz 1 Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức 1 1 1 A x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 THÀNH PHỐ SẦM SƠN Năm học: 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x2 2x 2x2 1 2 Câu 1: Cho biểuthức: M 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Rútgọnbiểuthức M. b) Tìmgiátrịnguyêncủa x đểbiểuthức M nhậngiátrịnguyên. Lờigiải a) ĐKXĐ: x 0;2 x2 2x 2x2 x2 x 2 M 2 2 x2 2 x 4 x 4 2 x x2 2x x 2 4x2 x 1 x 2 M . 2 x2 4 x 2 x2 x x2 4 x 1 x 2 M . 2 x2 4 x 2 x2 x 1 M 2x x 1 Vậy M với x 0;2 . 2x x 1 b) Ta có: M với x 0;2 2x x 1 1 2M 1 x x 1 Để M ¢ 2M ¢ ¢ x x U 1 x 1; 1 (TMĐK) Thửlại: x 1 2M 2 M 1 ¢ x 1 2M 0 M 0 ¢ Vậy x 1; 1 thì M nguyên. 3 x 3 3 Câu 2: a) Giảiphươngtrình: x 3 16 x 2 b) Tìmcácnghiệmtựnhiên x, y củaphươngtrình: 2 x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 Lờigiải 3 x 3 3 a) x 3 16 x 2 ĐKXĐ: x 2
3. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3. . x 3 x 3 16 x 2 x 2 x 2 3 2 x 3 x2 5x 6 3 x 3 x 3 x2 5x 6 16 x 2 x 2 x 2 3 x 3 2 3 x 3 2 x 3 2 . 16 x 2 x 2 x 2 3 2 x 3 2 x 3 2 3. 16 x 2 x 2 x 3 2 Đặt t x 2 PT trởthành: t3 3t 2 16 0 t 4 t 2 t 4 0 2 1 15 t 4 t 2 t 4 t 0 vn 2 4 x 3 2 Vớit 4 4 x 2 x2 6x 9 4x 8 0 x2 2x 1 0 x 1 2 0 x 1 (TMĐK) Vậytậpnghiệmcủaphươngtrìnhlà S 1. 2 b) x2 4y2 28 17 x4 y4 14y2 49 2 2 2 4 2 2 x 4 y 7 17x 17 y 7 0 x2 a 0 Đặt 2 y 7 b 0 PT trởthành: a 4b 2 17a2 17b2 0 a2 8ab 16b2 17a2 17b2 0 16a2 8ab b2 0 4a b 2 0 4a b 0 4x2 y2 7 0 2x y 2x y 7 Vì x, y ¢ 2x y;2x y ¢ 2x y;2x y U 7 1; 7 2x y 1 x 2 TH1: 2x y 7 y 3 2x y 1 x 2 TH2: 2x y 7 y 3
4. 2x y 7 x 2 TH3: 2x y 1 y 3 2x y 7 x 2 TH4: 2x y 1 y 3 Câu 3: a) Cho n làsốnguyêndươngvà mlàướcnguyêndươngcủa 2n2 . Chứngminhrằng n2 m khôngphảilàsốchínhphương. b) Cho p, q làhaisốnguyêntốsaocho p q 3và p q 2. Chứngminhrằng p q12. Lờigiải 2n2 a) Đặt 2n2 km m với k ¥ * k Giảsử: n2 m a2 2n2 n2 a2 k n2k 2 2n2k a2k 2 n2 k 2 2k ak 2 Vôlívì k 2 k 2 2k k 1 2 nên n2 m khônglàsốchínhphương ( đpcm) b) Vì q làsốnguyêntốlớnhơn3 nên q 3k 1,q 3k 2 với k ¥ * Nếu q 3k 1 p 3k 33 ( vì p làsốnguyêntốlớnhơn3 ) Nếu q 3k 2 p 3k 4 Vì q làsốnguyêntốlớnhơn3 nên k lẻ k 1chẵn Ta có: p q 6 k 1 12 (đpcm) Câu 4: Cho ABC vuôngtại A AB AC , đườngcao AH ( H BC ). Trêntia HC lấy điểm D saocho HA HD . Đườngvuônggócvới BC tại D cắt AC tại E . a) Chứngminh BEC ∽ ADC . Tínhđộdàiđoạnthẳng BE theo m AB . b) Gọi M làtrungđiểmcủađoạnthẳng BE . Chứngminh BHM : BEC . Tínhsốđogóc AHM . GB HD c) Tia AM cắt BC tạiG . Chứngminh . BC AH HC Lờigiải a) BEC : ADC Dễthấy EDC ∽ AHC EC AC 1 DC HC
5. AC BC Lạicó: ACH : BCA 2 HC AC EC BC AC Từ 1 và 2 ta có CD AC HC EC CD BC AC Xét BEC và ADC có: EC CD BC AC µ C :chung BEC : ADC c.g.c . E· BC E· AD E· BC E· CD E· AD E· CB ·AEB 45 . ABE vuôngcântại A . BE AB. 2 m 2 . 1 1 2 b) Ta có BM.BE .BE 2 2AB AB2 . 2 2 Lạicó AB2 BH.BC BH.BC BM.BE BH BE . BM BC Xét BHM và BEC có: BH BE BM BC BHM ∽ BEC c.g.c µ B : chung BMH ∽ BEC B· MH B· EC 135 ·AHM 135 B· HA 45 HA AB c) Do AHC ∽ BAC nên HC AC HD AB HD AB . HC AC HC HD AC AB Do ABE cân, AM  BE AM làphângiáccủagóc B· AE . BG AB BG AB GC AC BG GC AB AC BG AB HD BC AB AC HA HC đpcm. Câu 5: Cho x, y, z làcácsốthựcdươngthỏamãn xyz 1 Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức 1 1 1 A x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 1
6. Lờigiải Ta chứngminhbấtđẳngthứcsau: x3 y3 xy x y 1 Ta có: 1 x3 y3 x2 y xy2 0 x2 x y y2 y x 0 x y x2 y2 0 x y 2 x y 0 ( luônđúngx, y 0) Ápdụngvàobài ta có: 1 1 1 x3 y3 1 xy x y xyz xy x y z 1 1 Tươngtự: y3 z3 1 yz x y z 1 1 z3 x3 1 zx x y z 1 1 1 x y z Cộngtừngvế ta được A 1 xy x y z yz x y z zx x y z xyz x y z Vậy MaxA 1 x y z 1. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = =