Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp Tỉnh môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Bắc Ninh (Có đáp án)

1. UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH SỞ GD&ĐT BẮC NINH NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ THI HSG8 SỐ 63 TOÁN 8Thời gian làm bài:90 phút Bài 1: (2,0 điểm) Cho ba số a ,b , c khác nhau đôi một và khác 0 , đồng thời thỏa mãn điều kiện a b b c c a a b c . Tính giá trị của biểu thức: A 1 1 1 . c a b b c a Bài 2: (4,0 điểm) 1 3 2 1. Giải phương trình: 2 . x2 x 1 x 1 2 5 3 2 2. Cho hai đa thức P(x) x 5x 4x 1, Q x 2x x 1.Gọi x1, x2 , x3 , x4 , x5 là các nghiệm của P x .Tính giá trị của Q x1 .Q x2 .Q x3 .Q x4 .Q x5 . Bài 3:(4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 2 2 là ước số của n6 206. a2 b2 a 2. Cho a ,b , c là các số nguyên khác 0 , a c sao cho . Chứng minh rằng b2 c2 c a 2 b2 c 2 không phải là số nguyên tố. Bài 4:(7,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC.Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vuông AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH tại E .Đường thẳng AH cắt DC tại F . a) Chứng minh rằng BM ND. b)Tứ giác EMFN là hình gì? c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC . 2. Cho tam giác ABC có B· AC 900 , ·ABC 200. Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC , AB sao cho ·ABE 100 và ·ACF 300.Tính C· FE . Bài 5:(3,0 điểm) 1. Cho các số thực a,b, c 1. Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a 2. Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia 2 hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít 3 nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN SỞ GD&ĐT BẮC NINH Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) Cho ba số a ,b , c khác nhau đôi một và khác 0 , đồng thời thỏa mãn điều kiện a b b c c a a b c . Tính giá trị của biểu thức: A 1 1 1 . c a b b c a Lời giải Nếu a b c 0 thì a b c,b c a, c a b a b b c c a a b b c c a Do đó, 1 A . . 1 c a b c a b a b b c c a a b b c c a Nếu a b c 0 thì 2 c a b c a b Do đó, a b 2c,b c 2a, c a 2b a b c , trái giả thiết Vậy A 1 Bài 2: (4,0 điểm) 1 3 2 1. Giải phương trình: 2 . x2 x 1 x 1 2 5 3 2 2. Cho hai đa thức P(x) x 5x 4x 1, Q x 2x x 1. Gọi x1, x2 , x3 , x4 , x5 là các nghiệm của P x .Tính giá trị của Q x1 .Q x2 .Q x3 .Q x4 .Q x5 . Lời giải 2.1 Điều kiện x 0; x 1 1 3 2 1 3 2 2 1 1 0 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 x 1 2 2 x2 1 x 1 3 x 1 2 0 x2 x 1 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 2 2 0 x 1 2 2 0 x x 1 x x 1 x 1 3 3 x 1 x 1 x 0 1(tm) x 2 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;  . 2 
3. 2.2 5 3 Ta có : P x x 5x 4x 1 x x1 x x2 x x3 x x4 x x5 1 Q x 2 x 1 x 2 Do đó:Q x1 .Q x2 .Q x3 .Q x4 .Q x5 5 1 1 1 1 1 5 2 . x1 x2 x3 x4 x 2 2 2 2 2 1 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x5 1 1 5 32.P .P 1 32. 2 1 1 5 4 1 77 2 32 8 Bài 3:(4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 2 2 là ước số của n6 206. a2 b2 a 2. Cho a ,b , c là các số nguyên khác 0 , a c sao cho . Chứng minh rằng b2 c2 c a 2 b2 c 2 không phải là số nguyên tố. Lời giải 3.1 n6 206 n6 8 198 n 2 2 là ước số của n6 206 ¢ ¢ n2 2 n2 2 198 n4 2n2 4 ¢ n2 2 Điều nảy xảy ra khi n 2 2 là ước nguyên dương của 198 2.32.11 gồm: 2;3;6;9;11;18; 22;33;66;99;198 Từ đó ta tìm được n 1;2;3;4;8;14. 3.2 2 2 a b a 2 2 Ta có: 2 2 a c b ac 0 b ac b c c Mà a2 b2 c2 a2 ac c2 a2 2ac c2 b2 a c 2 b2 a c b a c b Ta thấy a 2 b2 c 2 3 do đó nếu a 2 b2 c 2 là các số nguyên tố thì xảy ra các trường hợp sau: 1) a c b 1;a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) 2) a c b 1,a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) 3) a c b 1,a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1
4. a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) 4) a c b 1,a c b a2 b2 c2 a2 b2 c2 2a 2c 1 a 1 2 c 1 2 b2 1 a c 1,b 1 (ktm) Bài 4: (7,0 điểm) 1. Cho hình vuông ABCD , gọi M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C , dựng hình vuông AMHN. Qua M dựng đường thẳng d song song với AB , d cắt AH tại E . Đường thẳng AH cắt DC tại F . a) Chứng minh rằng BM ND. b)Tứ giác EMFN là hình gì? c)Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi khi M thay đổi trên BC . 2. Cho tam giác ABC có B· AC 900 , ·ABC 200. Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC , AB sao cho ·ABE 100 và ·ACF 300. Tính C· FE . Lời giải 4.1 A B 1 2 d E 3 M 1 O 2 1 2 C N D F H µ · 0 a) Do ABCD là hình vuông A1 MAD 90 (1) ¶ · 0 mà AMHN là hình vuông A2 MAD 90 (2) µ ¶ Từ 1 ; 2 suy ra A1 A2 µ ¶ 0 Do đó, AND AMB c.g.c B D1 90 và BM ND ¶ 0 b) Do ABCD là hình vuông D2 90 · ¶ ¶ 0 0 0 NDC D1 D2 90 90 180 N, D,C thẳng hàng Gọi O là giao điểm hai đường chéo AH , MN của hình vuông AMHN. O là tâm đối xứng của hình vuông AMHN
5. AH là đường trung trực đoạn MN, mà E, F AH EN EM và FM FN (3) ¶ ¶ µ ¶ EOM FON OM ON; N1 M 3 O1 O2 EM FN (4) Từ 3 ; 4 EM NE NF FM MEMF là hình thoi (5) c) Từ (5) suy ra FM FN FD DN Mà DN MB MF DF BM Gọi chu vi tam giác MCF là p và cạnh hình vuông là a Ta có: P MC CF MF MC CF BM DF (vì MF DF MB ) MC MB CF FD BC CD a a 2a Do đó, chu vi tam giác MCF không đổi khi M thay đổi trên BC . 4.2 A F G E B D C Xét ABC có B· AC 900 , ·ABC 200 ·ACB 700 ACF có C· AF 900 , ·ACF 300 FC 2.AF Gọi D là trung điểm của BC và G là điểm trên AB sao cho GD  BC. BD BA Khi đó, ABC ” DBG BG BC G· CB G· BC 200 G· CF 200 Do đó CG và BE lần lượt là tia phân giác của B· CF và ·ABC nên: FC BC BA AE ; FG BG BC EC 1 1 FC BC AF BD BA AE AF AE Do đó, 2 2 FG FG BG BG BC EC FG EC Từ đó suy ra CG / /EF (Định lý Talet đảo) · · 0 CFE GCF 20 . Bài 5: (3,0 điểm) 1. Cho các số thực a,b, c 1. Chứng minh rằng 1 1 1 4 4 4 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c c a
6. 2. Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia 2 hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít 3 nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm. Lời giải 2 1 1 5.1 Ta có a 1 0 a2 2a 1 a2 2a 1 2a 1 a2 1 1 1 VT 3 a2 b2 c2 1 1 2 8 8 8 1 1 8 Ta lại có: ; 2 2 a2 b2 ab a b 2 a b 2 a b a2 b2 a b 1 1 8 1 1 8 Tương tự ta có: 2 ; 2 b2 c2 b c a2 c2 a c 1 1 1 4 4 4 Suy ra: 3 a2 b2 c2 a b b c a c 1 1 1 4 4 4 Do vậy: 3 2a 1 2b 1 2c 1 a b b c a c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. 5.2 Các đường thẳng đã cho không thể cắt các cạnh kề nhau của hình vuông, bởi vì nếu thế chúng chia hình vuông thành một tam giác và ngũ giác (chứ không phải chia hình vuông thành hai tứ giác) Do đó, mỗi đường thẳng (trong số chín đường thẳng) đều cắt hai cạnh đối của hình vuông và không đi qua một đỉnh nào của hình vuông cả. Giả sử một đường thẳng cắt hai cạnh đối BC và AD tại các điểm M và N .
7. A N D E F J B M C 1 .AB. BM AN S 2 2 EJ 2 Ta có: ABMN 2 S 3 1 3 JF 3 MCND CD.(MC ND) 2 (ở đây E và F là các trung điểm của AB và CD tương ứng) Gọi E, F , P,Q tương ứng là các trung điểm của AB , CD , BC , AD . Gọi J1, J2 , J3 , J4 là các điểm sao cho J1, J2 nằm trên EF , J 3 , J 4 nằm trên PQ và thỏa mãn: EJ FJ PJ QJ 2 1 2 3 4 J1F J2 F J3Q J4 P 3 P A D J4 E F J1 J2 J3 B C Q Khi đó từ đó lập luận trên ta suy ra mỗi đường thẳng có tính chất thỏa mãn yêu cầu của đề bài phải đi qua một trong 4 điểm J1, J2 , J3 , J4 nói trên. Vì có 9 đường thẳng, nên theo nguyên lý Dirichle phải tồn tại ít nhất một trong 4 điểm J1, J2 , J3 , J4 sao cho nó có ít nhất ba trong 9 đường thẳng đã cho đi qua Vậy có ít nhất 3 đường thẳng trong 9 đường thẳng đã cho đi qua một điểm. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =