Đề thi giao lưu Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Như Xuân (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi giao lưu Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Như Xuân (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN NHƯ XUÂN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mônthu: TOÁN- LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngàythi: 23 tháng 4 năm 2018 Thờigian:150 phút(khôngkểthờigiangiaođề) Đềgồm 05 câu, 01 trang. Câu 1: (4,0 điểm) 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Cho biểuthức: A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 a) Rútgọn A b)Tìmgiátrịlớnnhấtcủa A Câu 2: (4,0điểm) 1. Phântíchcácđathứcsauthànhnhântử: a) x3 6x2 11x 6 b) x4 2019x2 2018x 2019 (2018 x)2 (2018 x)(x 2019) (x 2019)2 19 2. Giảiphươngtrình: (2018 x)2 (2018 x)(x 2019) (x 2019)2 49 Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a b c 0 và a2 b2 c2 14 . Tínhgiátrịcủabiểuthức N a4 b4 c4 a2 b2 c2 a c b b)Cho basố a,b,c khác 0 thỏamãn: b2 c2 a2 c a a Chứngminhrằng: a b c Câu 4: (6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuôngtại A . Lấymộtđiểm M bấtkỳtrencạnh AC . TừC vẽmộtđườngthẳngvuônggócvớitia BM , đườngthẳngnàycắttia BM tại D , cắttia BA tại E . a) Chứngminh: EA.EB ED.EC và E· AD E· CB b)Cho B· MC 120 và 36cm2 . Tính ? S AED S EBC c) Chứngminhrằngkhiđiểm M di chuyểntrêncạnh AC thìtổng BM.BD CM.CA cógiátrịkhôngđổi. b)Kẻ DH  BC(H BC) . Gọi P,Q lầnlượtlàtrungđiểmcủacácđoạnthẳng BH, DH . Chứngminh: CQ  PD. Câu 5: (2,0điểm) Cho x, y 0 thỏamãn x y 2 . 2 2 1 1 Chứngminhrằng: x y 8 x y = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ VÀO 10 THPT MÔN TOÁN NĂM HỌC: 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 Cho biểuthức: A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 a) Rútgọn A b)Tìmgiátrịlớnnhấtcủa A Lờigiải 3x2 3 x 1 1 2x2 5x 5 A 3 2 : x 1 x x 1 x 1 x 1 a) Rútgọn ĐKXĐ: x 1 3x2 3 (x 1)2 (x2 x 1) x 1 A . (x 1)(x2 x 1) 2x2 5x 5 3x2 3 x2 2x 1 x2 x 1 (x2 x 1)(2x2 5x 5) x2 x 1 (x2 x 1)(2x2 5x 5) 1 2x2 5x 5 b) Ta có 2 2 5 25 15 2x 5x 5 2 x x 2 16 16 2 5 15 2 x 4 8 2 2 5 5 15 15 Vì x 0 2 x 4 4 8 8 15 1 15 2x2 5x 5 8 2x2 5x 5 8 15 5 Vậy GTLN của A là khi x 8 4 Bài2: (4,0 điểm) 1. Phântíchcácđathứcsauthànhnhântử: a) x3 6x2 11x 6 b) x4 2019x2 2018x 2019 (2018 x)2 (2018 x)(x 2019) (x 2019)2 19 2. Giảiphươngtrình: (2018 x)2 (2018 x)(x 2019) (x 2019)2 49 Lờigiải 1.
3. a) x3 6x2 11x 6 (x3 x2 ) 5(x2 x) 6(x 1) x2 (x 1) 5x(x 1) 6(x 1) (x 1)(x2 5x 6) (x 1)(x 2)(x 3) b) x4 2019x2 2018x 2019 (x4 x) 2019(x2 x 1) x(x 1)(x2 x 1) 2019(x2 x 1) (x2 x 1)(x2 x 2019) 2. (2018 x)2 (2018 x)(x 2019) (x 2019)2 19 TXĐ: (2018 x)2 (2018 x)(x 2019) (x 2019)2 49 (x 2018)2 (x 2018)(x 2019) (x 2019)2 19 (1) (x 2018)2 (x 2018)(x 2019) (x 2019)2 49 Đặt x 2019 y x 2018 y 1 (y 1)2 (y 1)y y2 19 (1) (y 1)2 (y 1)y y2 49 y2 2y 1 y2 y y2 19 y2 2y 1 y2 y y2 49 y2 y 1 19 3y2 3y 1 49 49y2 49y 49 57y2 57y 19 15 8y2 8y 30 0 y2 y 0 4 2 1 5 3 y 4 0 y y 0 2 2 2 5 5 y x 2019 2 2 x 2021,5 3 3 x 2017,5 y x 2019 2 2 Vậytậpnghiệmcủaphươngtrìnhlà S 2021,5;2017,5 Bài3: (4,0 điểm) a) Cho a b c 0 và a2 b2 c2 14 . Tínhgiátrịcủabiểuthức N a4 b4 c4 a2 b2 c2 a c b b)Cho basố a,b,c khác 0 thỏamãn: b2 c2 a2 c a a Chứngminhrằng: a b c Lờigiải a) a b c 0 (a b c)2 0
4. (a2 b2 c2 ) 2ab 2ac 2bc 0 14 2(ab ac bc) 0 ab bc ac 7 a2b2 b2c2 a2c2 2abc(a b c) 49 a2b2 b2c2 a2c2 49 a4 b4 c4 (a2 b2 c2 ) 2(a 2 b2 b2c2 a2c2 ) 142 2.49 98 b) a b c Đặt x; y; z xyz 1 b c a ÁpdụngBấtđẳngthức Cosi ta có x2 y2 2 x2 y2 2xy y2 z2 2 y2 z2 2yz x2 z2 2 x2 z2 2xz 2(x2 y2 z2 ) 2(xy yz xz) x2 y2 z2 xy yz xz 1 1 1 a2 b2 c2 b c a x2 y2 z2 (*) x y z b2 c2 a2 a b c a2 b2 c2 a c b Mà b2 c2 a2 c b a Vậyđẳngthức (*) xảy ra khivàchỉkhi x y z 1 a b c (đpcm) Bài4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuôngtại A . Lấymộtđiểm M bấtkỳtrencạnh AC . TừC vẽmộtđườngthẳngvuônggócvớitia BM , đườngthẳngnàycắttia BM tại D , cắttia BA tại E . a) Chứngminh: EA.EB ED.EC và E· AD E· CB b) Cho B· MC 120 và 36cm2 . Tính ? S AED S EBC c) Chứngminhrằngkhiđiểm M di chuyểntrêncạnh AC thìtổng BM.BD CM.CA cógiátrịkhôngđổi. b) Kẻ DH  BC(H BC) . Gọi P,Q lầnlượtlàtrungđiểmcủacácđoạnthẳng BH, DH . Chứngminh: CQ  PD. Lờigiải
5. E A D M Q p B H C a) +) Xét EAC và EDB có Eµ chung E· AC E· DB 90 EAC ∽ EDB(g.g) EA EC EA.EB EC.ED ED EB +) Xét EAC và EDB có Eµ chung EA EC EA ED ED EB EC EB EDA∽ EBC(c.g.c) E· AD E· CB b) Ta có B· MC 120 ·AMB 180 120 60 ED ED 1 sin ·ABM EB 2ED (1) EB EB 2 2 2 SEAD ED ED 1 Mặtkhác: EDA∽ EBC SEBC EB 2ED 4 2 SECB 4.SEAD 4.36 144cm c) Kẻ MH  BC Xét BKM và BDC có Bµ chung Kµ Dµ 90 BKM ∽ BDC(g.g) BM BK BM.BD BK.BC (1) BC BD Xét CKM và CAB có Cµ chung Kµ µA 90 CKM ∽ CAB(g.g)
6. CM CK CM.CA CB.CK (2) CB CA Từ (1) và (2) ta có BM.BD CM.CA BC(BK CK) BC.BC BC 2 (khôngđổi) d) Xét BDH và BCD có Bµ chung Hµ Dµ 90 BDH ∽ BCD(g.g) Xét DHC và BDC có Cµ chung Hµ Dµ 90 DHC ∽ BDC(g.g) BH BD Vậy ta có BHD ∽ DHC(g.g) DH DC BD 2BP BP Do BH 2BD(gt); DH 2DQ(gt) DC 2DQ DQ Xét DPB và CQD có: D· BP C· DQ (do BDH ∽ DHC ) BD BP DC DQ DPB ∽ CQD(c.g.c) B· DP D· CQ Mà B· DP P· DC 90 C· DQ P· DC 90 P· QC 180 90 90 CQ  DP Bài5: (2,0 điểm) Cho x, y 0 thỏamãn x y 2 . 2 2 1 1 Chứngminhrằng: x y 8 x y Lờigiải Ta có: 2 2 1 1 2 1 2 1 x y x 2 2 y 2 2 x y x y 2 2 1 1 4 (x y ) 2 2 x y Ápdụng BĐT Cosi chohaisố x2 , y2 ta có: x2 y2 2xy
7. 2 2 2 2 (x y) 2 2 2 2 x y 2 2(x y ) (x y) 2 2 (x y)2 4xy (x y)2 22 xy 1 4 4 1 1 Ápdụng BĐT Cosi chohaisố , ta có: x2 y2 1 1 2 2 2 x2 y2 xy 1 2 2 1 1 2 2 1 1 x y 4 x y 2 2 4 2 2 8(đpcm) x y x y = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =