Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề khảo sát chất lượng Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Tiền Hải (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2017 – 2018 TIỀN HẢI Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 y2 2xy 3x 3y 2 b)Cho a 999...92 (số gồm 2018 chữ số 9 ), b 0,999...92 ( số gồm 2018 chữ số 9 ). Chứng minh 1 a b là bình phương của một số hữu tỉ. Bài 2: (4,5 điểm) x2 x 2x3 x2 x 2x 1 2x 1 a)Cho biểu thức M 2 3 : 2 x x 1 x 1 x 1 x x Rút gọn biểu thức M và tính giá trị biểu thức M khi x là nghiệm của phương trình x 1 2x 1 b)Đa thức f x chia cho x 5 dư 2014 , chia cho x 2 dư 2018. Tìm dư của phép chia đa thức f x cho x2 – 3x –10 . Bài 3: (4,5 điểm) 1 1 1 1 a)Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 2x 2x m b)Tìm giá trị của m để phương trình ẩn x : 4 có nghiệm. x 2 x 1 c)Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2 – y 4 x 2y 0 Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm M . Vẽ BH vuông góc với CM tại H . Đường thẳng đi qua H và vuông góc với DH cắt cạnh BC tại N . Chứng minh rằng: a) BC 2 CH.CM b) DHC ∽ NHB c) MN //AC d) Khi M thay đổi trên cạnh AB thì đường thẳng kẻ qua M và vuông góc với DN đi qua một điểm cố định. Bài 5: (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường chéo của đa giác lồi không song song với bất kì cạnh nào của đa giác đó. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 1
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2017 – 2018 Bài 1: (4,0 điểm) a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 y2 2xy 3x 3y 2 b)Cho a 999...92 (số gồm 2018 chữ số 9 ), b 0,999...92 ( số gồm 2018 chữ số 9 ). Chứng minh 1 a b là bình phương của một số hữu tỉ. Bài Đáp án Điểm a) x2 y2 2xy 3x 3y 2 x2 2xy y2 2 x y 1 x y 1 0,5 2 x y 2 x y 1 x y 1 0,5 2 x y 1 x y 1 0,5 1 x y 1 x y 2 . 0,5 2 (4đ) 2018 2 10 1 2018 b) a b 1 102018 1 1. (Đặt x 10 ) 2018 10 0,5 2 2 2 x 1 2 x 2x 1 a b 1 x 1 1 x 2x 1 1 x x2 0,5 2 2 2 2 2 x 1 2 x 1 x x x2 x 1 a b 1 x2 x 1,0 Bài 2: (4,5 điểm) x2 x 2x3 x2 x 2x 1 2x 1 a)Cho biểu thức M 2 3 : 2 x x 1 x 1 x 1 x x Rút gọn biểu thức M và tính giá trị biểu thức M khi x là nghiệm của phương trình x 1 2x 1 b)Đa thức f x chia cho x 5 dư 2014 , chia cho x 2 dư 2018. Tìm dư của phép chia đa thức f x cho x2 – 3x –10 . Câu Đáp án Điểm 2 1 0,25 a) ĐKXĐ: x 0, x , x 1 (4,5đ) 2 Trang 2
3. x2 x 2x3 x2 x 2x 1 2x 1 M= 2 3 : 2 x x 1 x 1 x 1 x x x2 x 2x3 x2 x (2x 1).(x2 x 1) x x2 0,25 = . x2 x 1 x3 1 2x 1 x2 x 2x3 x2 x (2x3 2x2 2x x2 x 1) x(1 x) 0,25 = . x2 x 1 (x 1)(x2 x 1) 2x 1 x2 x 2x 1 x(1 x) 0,5 = . x2 x 1 (x 1)(x2 x 1) 2x 1 x2 x x(2x 1) 0,25 x2 x 1 (x2 x 1)(2x 1) x2 0,25 x2 x 1 x 1 2x 1 x 0 (không thỏa ĐKXĐ) hoặc x 2(thỏa 0,5 ĐKXĐ) 4 0,25 Với x 2 M 3 b) x2 – 3x –10 x – 5 x 2 0,5 0,25 Ta có: f x x 5 x 2 .q x r x . 0,25 Vì bậc của r x nhỏ hơn hoặc bằng 1 nên đặt r x ax b . Vì f x chia cho x – 5 dư 2014 , chia cho x 2 dư 2018 nên: 0,25 f 5 5a b 2014 và f 2 2a b 2018 Suy ra a 576 và b 866 . 0,25 Vậy đa thưc dư cần tìm là 576x – 866 . 0,25 Bài 3: (4,5 điểm) 1 1 1 1 a)Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 2x 2x m b)Tìm giá trị của m để phương trình ẩn x : 4 có nghiệm. x 2 x 1 c)Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: x2 – y 4 x 2y 0 Câu Đáp án Điểm Trang 3
4. a) ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 0,25 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0,25 1 1 1 1 1 1 1 0,25 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 18 x 7 18 x 4 x 7 x 4 x 4 x 7 18 0,5 x 13 x 2 0 0,25 x 13(TM ) x 2(TM ) 0,25 Vậy x 13; x 2 0,25 b) ĐKXĐ: x 1; x 2 0,25 2x 2x m 4 x 2 x 1 2x(x 1) (2x m)(x 2) 4(x 2)(x 1) 0,25 (m 2)x 2m 8 (*) 0,25 Khi m 2 thì phương trình (*) vô nghiệm. 0,25 2m 8 3 Khi m 2 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất: x m 2 0,25 (4,5đ) 2m 8 1 m 2 10 0,25 Theo ĐKXĐ ta có: m 2m 8 3 2 m 2 10 Vậy phương trình có nghiệm thì m và m 2 . 0,25 3 c) x2 y 4 x 2y 0 x2 xy 4x 2y 0 (x 2)y x2 4x (*) 0,25 Khi x 2 thì phương trình (*) vô nghiệm . x2 4x 4 Khi x 2 thì phương trình (*) y x 2 x 2 x 2 Vì x, y là các số nguyên nên x – 2 là ước của 4 . 0,25 Ta có bảng sau: Trang 4
5. x 2 4 2 1 1 2 4 0,25 x 2 0 1 3 4 6 4 y x 2 3 0 3 3 0 3 x 2 0,25 KL tm tm tm tm tm tm Vậy: (x, y) ( 2, 3),(0,0),(1,3),(3, 3),(4,0),(6,3) Bài 4: (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB lấy điểm M . Vẽ BH vuông góc với CM tại H . Đường thẳng đi qua H và vuông góc với DH cắt cạnh BC tại N . Chứng minh rằng: a) BC 2 CH.CM b) DHC ∽ NHB c) MN //AC d) Khi M thay đổi trên cạnh AB thì đường thẳng kẻ qua M và vuông góc với DN đi qua một điểm cố định. Câu Đáp án Điểm B N C M H K A D a) Xét hai tam giác vuông CHB và CBM có: 4 B· CH chung (6,0đ) CHB ∽ CBM (g g) 1,0 CH CB BC 2 CH.CM CB CM 1,0 b) Ta có D· HC N· HB (cùng phụ với N· HC ) 0,5 0,5 D· CH N· BH (cùng phụ với B· CH ) 1,0 DHC ∽ NHB(g g) Trang 5
6. DC HC BC HC 0,25 c) DHC ∽ NHB 1 NB HB NB HB Xét hai tam giác vuông CBH và BMH có: B· CH M· BH (cùng phụ với H· BC ) CBH ∽ BMH (g g) CB CH 2 BM HB 0,5 Từ 1 và 2 suy ra NB BM . BMN vuông cân tại B B· NM 450 0,25 Mà B· CA 450 nên MN //AC . d) Gọi K là giao điểm của đường thẳng kẻ qua M và vuông góc với DN với AD . Vì NB MB nên NC MA 3 . 0,25 K· MA K· DN (cùng phụ với M· KA ) Mà C· ND K· DN (vì BC//AD ) nên C· ND K· MA 4 . Từ 3 và 4 suy ra MAK ∽ NCD (g c g) 0,5 AK CD không đổi. Suy ra K là điểm cố định. 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Cho đa giác lồi có 24 cạnh. Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường chéo của đa giác lồi không song song với bất kì cạnh nào của đa giác đó. Câu Đáp án Điểm 5) Giả sử mỗi đường chéo của đa giác lồi 24 cạnh luôn song song với một cạnh nào đó của đa giác. 0,25 Số đường chéo của đa giác 24 cạnh là: 24 24 3 252 . Vì 252 : 24 dư 10 nên theo nguyên lý Dirichle, tồn tại 11 đường 0,25 5 chéo cùng song song với cạnh Ai Ai 1 nào đó của đa giác 1 i 24 (1,0đ) Vì mỗi đường chéo được nối bởi hai đỉnh không kề của đa giác suy 0,25 ra số đỉnh của đa giác lớn hơn 11.2 2 24 , trái với giả thiết. Suy ra điều giả sử sai. Vậy đa giác lồi 24 cạnh luôn tồn tại một đường chéo của đa giác lồi không song song với bất kì cạnh nào 0,25 của đa giác đó. Lưu ý: Trang 6
7. - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu học sinh không vẽ hình hoặc sai hình thì không chấm điểm bài hình. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ nửa số điểm ở phần đó. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 7