Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT huyện Gia Lâm (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT huyện Gia Lâm (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HSG TOÁN 8 NĂM HỌC: 2020 – 2021 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (5,0 điểm) x 2 1 10 x2 Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A biết x 3 1 3. Tìm giá trị của x để A 0 4. Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4 1. 6 5 4 3 1 1 1 3 2. x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 4 Bài 3: (5,0 điểm) 1. Cho biểu thức A 5x2 y2 2xy 14x 2y 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2020 2020 2. Chứng minh rằng đa thức A x x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho đa thức B x x 1 3. Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b . 4. Cho hai số x, y thỏa mãn x y 2 . Chứng minh rằng: x2 y2 x4 y4 Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB a , hai đường chéo cắt nhau tạiO . Trên hai cạnh AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao cho . Gọi H là giao điểm của tia AG và tia DC , I là giao điểm của tia OG và đoạn thẳng BH . 1. Chứng minh rằng: OGE vuông cân. 2. Tính diện tích tứ giác OEBG theo a 3. Chứng minh rằng: EG//BI 4. Gọi K là giao điểm của tia EO và tia IC . Chứng minh rằng: KG  EI = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG 8 GIA LÂM Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) x 2 1 10 x2 Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tính giá trị của A biết x 3 1 3. Tìm giá trị của x để A 0 4. Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Lời giải ĐKXĐ: x 2 x 2 1 10 x2 1) A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 4 10 x2 A : x 2 x 2 x 2 6 6 A : x 2 x 2 x 2 6 x 2 A . x 2 x 2 6 1 A x 2 2) Ta có: x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 2 (ko t / m) x 4 (t/m) 1 1 Với x 4 thay vào A ta có: A 4 2 6 1 3) Để A 0 thì 0 mà 1 0 nên x 2 0 x 2 x 2 Vậy A 0 khi x 2 1 4) Để A nhận giá trị nguyên thì ¢ nên x 2 U 1 1;1 x 1;3 (thỏa mãn điều x 2 kiện)
3. Bài 2: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: x 1 x 2 x 3 x 4 1. 6 5 4 3 1 1 1 3 2. x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 4 Lời giải x 1 x 2 x 3 x 4 1) 6 5 4 3 x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 1 6 5 4 3 x 7 x 7 x 7 x 7 6 5 4 3 x 7 x 7 x 7 x 7 0 6 5 4 3 1 1 1 1 x 7 0 6 5 4 3 x 7 0 x 7 Vậy x 7 1 1 1 3 2) ĐK: x 0; x 1; x 2; x 3 x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 4 1 1 1 3 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 4 1 1 1 1 1 1 3 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 4 1 1 3 x x 3 4 x 3 x 3x x 3 x x 3 4x x 3 3.4 3x x 3 x2 3x 4 0 x 1 x 4 0 x 4 0 x 4 ( thỏa mãn điều kiện) x 1 0 x 1 Vậy x 1; x 4
4. Bài 3: (5,0 điểm) 1. Cho biểu thức A 5x2 y2 2xy 14x 2y 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. 2020 2020 2. Chứng minh rằng đa thức A x x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho đa thức B x x 1 3. Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b . 4. Cho hai số x, y thỏa mãn x y 2 . Chứng minh rằng: x2 y2 x4 y4 Lời giải 1) A 5x2 y2 2xy 14x 2y 5 A x2 y2 1 2xy 2x 2y 4x2 12x 9 5 A x y 1 2 2x 3 2 5 5 1 y x y 1 0 2 Dấu “=” xảy ra khi 2x 3 0 3 x 2 1 y 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi 3 x 2 2020 2020 2) Chứng minh rằng đa thức A x x2 x 1 x2 x 1 2 chia hết cho đa thức B x x 1 Ta thấy đa thức B x x 1 có nghiệm là x 1 2020 2019 Mà A 1 12 1 1 12 1 1 2 0 nên đa thức A x phải có 1 nhân tử là x 1. Vậy nên đa thức A x chia hết cho đa thức B x 3) Chứng minh rằng a3b ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b . Xét A a3b ab3 ab a2 1 ab b2 1 A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 Do a 1;a;a 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab a 1 a 1 chia hết cho 6 Tương tự : b 1;b;b 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên ab b 1 b 1 chia hết cho 6 Do vậy: A ab a 1 a 1 ab b 1 b 1 chia hết cho 6 Do đó: A a3b ab3 chia hết cho 6
5. x2 y2 x3 y3 (1) 4) Ta cần chứng minh: x3 y3 x4 y4 (2) Thật vậy: x2 y2 x3 y3 x y x2 y2 2 x3 y3 vì x y 2 x3 xy2 x2 y y3 2x3 2y3 0 x3 xy2 x2 y y3 0 x2 x y y2 x y 0 x2 y2 x y 2 2 0 x y x y luôn đúng vì x y 2 0; x y 0 Từ (2) x3 y3 x4 y4 x y x3 y3 2 x4 y4 vì x y 2 x4 xy3 x3 y y4 2x4 2y4 0 x4 xy3 x3 y y4 0 x3 x y y3 x y 0 x3 y3 x y 0 x2 xy y2 x y 2 luôn đúng 2 2 2 1 3 2 2 vì x xy y x y y 0x, y; x y 0 2 4 Từ (1) và (2) suy ra x2 y2 x4 y4 với x y 2 Bài 4: (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB a , hai đường chéo cắt nhau tạiO . Trên hai cạnh AB, BC lần lượt lấy hai điểm E và G sao cho . Gọi H là giao điểm của tia AG và tia DC , I là giao điểm của tia OG và đoạn thẳng BH . 1. Chứng minh rằng: OGE vuông cân. 2. Tính diện tích tứ giác OEBG theo a 3. Chứng minh rằng: EG//BI 4. Gọi K là giao điểm của tia EO và tia IC . Chứng minh rằng: KG  EI Lời giải
6. A E B 1 O G 1 2 I 1 D C H K Xét OAE và OBG có: AE BG  OE OG (1) 0 O· AE O· BG 45  OAE OBG (cgc) ·AOE O· BG OA OB  Mà ·AOE E· OB 900 B· OG E· OB 900 E· OG 900 (2) Từ (1) và (2) suy ra OEG vuông cân tại O 2) Ta có: sOEBG s OGB s OEB sOEBG s OEA s OEB s ABC 1 1 Mà S S a2 ABO 4 ABCD 4 1 Nên S a2 (đvdt) OEBG 4 AG BG 3) Vì AB//CH nên GH GC Mà BG AE;GC EB ( Vì GC BC BG; EB AB AE ) AG AE Nên EG//BH hay EG//BI GH BE µ · 0 4) Vì EG//BI nên I1 OGE 45 ( Vì OGE vuông cân tại O) Xét OGC và BGI có: µ µ 0 · · I1 C1 45 ;OGC BGI (đối đỉnh)
7. OG GC OGC ∽ BGI (g-g) BG GI Lại có: O· GB C· GI (đối đỉnh) nên OGB ∽ CGI (c-g-c) µ µ 0 · µ µ 0 I2 B1 45 BIK I1 I2 90 KI  BI Mà EG//BI EG  CI IG  EK  Ta có:  G là trọng tâm EIK KG  EI EG  KI  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =