Đề thi giao lưu Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - UBND huyện Phú Lương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi giao lưu Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - UBND huyện Phú Lương (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG GIAO LƯU HỌC SINH SINH GIỎI LỚP 8 PHềNG GIÁO DỤC VÀĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2018 – 2019 MễN TOÁN - LỚP: 8 ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài: 120 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi cú 01 trang) .. Bài 1: (2,0 điểm) a2 b2 a2b2 a) Rỳt gọn biểu thức P a b 1 b a b 1 a 1 a 1 b b)Đa thức f x khi chia cho x 2 thỡ dư5 , khi chia cho x 3 thỡ dư7, khi chia cho x 2 x 3 được thương và cú dư. Tỡmđa thức f x . Bài 2: (2,0 điểm)Giải cỏc phương trỡnh 2 a) x 8 x 7 x 6 12 b) x 2 5 7 Bài 3:(1,0 điểm) Cho a,b là cỏc số thỏa món a b c 0 và 1 a,b,c 2 . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 6 Bài 4:(2,0 điểm)Phõn tớch cỏcđa thức sau thành nhõn tử: a) a3 a2 4a 4 b) 2a3 7a2b 7ab2 2b3 Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC cõn tại A cú BC 2a , M là trung điểm của BC . Lấy cỏcđiểm D , E theo thứ ã à tự thuộc cỏc cạnh AB , AC sao cho DME = B . a) Chứng minh rằng tớch BD.CE khụng đổi. ã b)Chứng minh rằng DM là tia phõn giỏc củaBDE . c) Qua M kẻ MH vuụng gúc với DE H DE . Chứng minh rằng khi D và E thay đổi trờn cạnh AB và AC thỡ MH khụng đổi. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm) a2 b2 a2b2 a) Rỳt gọn biểu thức P a b 1 b a b 1 a 1 a 1 b b)Đa thức f x khi chia cho x 2 thỡ dư5 , khi chia cho x 3 thỡ dư7, khi chia cho x 2 x 3 được thương và cú dư. Tỡmđa thức f x . Lời giải a2 b2 a2b2 a) P (ĐKXĐ: a b, a 1, b 1) a b 1 b a b 1 a 1 a 1 b a2 1 a b2 1 b a2b2 a b a3 a2 b2 b3 a3b2 a2b3 P a b 1 b 1 a a b 1 b 1 a a3 b3 a2 b2 a3b2 a2b3 P a b 1 b 1 a a b a2 ab b2 a b a b a2b2 a b a b 1 b 1 a a b a2 ab b2 a b a2b2 a2 a2b2 a ab b2 b P a b 1 b 1 a 1 b 1 a a2 1 b 1 b a 1 b b 1 b 1 b a2b a2 a b P 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b a2b a2 a b a2 a a2b b a a 1 b a 1 a 1 P 1 b 1 a 1 a 1 a a 1 a ab b P a ab b 1 a b)Đa thức f x khi chia cho x 2 x 3 được thương và cú dư. (Đề bài cho thiếu Q(x)) Suy ra f x x 2 x 3 Q x ax b Vỡđa thức f x khi chia cho x 2 thỡ dư5 f 2 5 2a b 5 (1) Vỡ f x chia cho x 3 thỡ dư7 f 3 7 3a b 7 (2) Từ (1) và (2) suy ra a 2, b 1 Vậy f x x 2 x 3 Q x 2x 1
3. Bài 2: (2,0 điểm)Giải cỏc phương trỡnh 2 a) x 8 x 7 x 6 12 b) x 2 5 7 Lời giải 2 a) x 8 x 7 x 6 12 (1) Đặt t x 7 phương trỡnh (1) trở thành: t 1 t2 t 1 12 t2 1 t2 12 t4 t2 12 0 t4 4t2 3t2 12 0 t4 4t2 3t2 12 0 t2 t2 4 3 t2 4 0 t2 4 t2 3 0 t2 4 0 (vỡ t2 3 3 với mọit ) t 2 Với t 2 ta cú x 7 2 x 5 Với t 2 ta cú x 7 2 x 9 Vậy phương trỡnh cú tập nghiệm S 5; 9 b) x 2 5 7 x 2 5 7 x 2 5 7 x 2 5 7 (vỡ x 2 5 7 vụ nghiệm do x 2 5 0 với mọi x ) x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậyphương trỡnh cú tập nghiệm S 4;0 Bài 3:(1,0 điểm) Cho a,b là cỏc số thỏa món a b c 0 và 1 a,b,c 2 . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 6 Lời giải a 1 a 2 0 a2 a 2 1 a,b,c 2 b 1 b 2 0 b2 b 2 c2 c 2 c 1 c 2 0
4. a2 b2 c2 a b c 6 6 (Vỡ a b c 0 ) Bài 4:(2,0 điểm)Phõn tớch cỏcđa thức sau thành nhõn tử: a) a3 a2 4a 4 b) 2a3 7a2b 7ab2 2b3 Lời giải a) a3 a2 4a 4 a2 a 1 4 a 1 a 1 a2 4 a 1 a 2 a 2 b) 2a3 7a2b 7ab2 2b3 2 a3 b3 7ab a b 2 a b a2 ab b2 7ab a b a b 2a2 2ab 2b2 7ab a b 2a2 5ab 2b2 a b 2a2 4ab ab 2b2 = a b 2a a 2b b a 2b a b 2a b a 2b Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC cõn tại A cú BC 2a , M là trung điểm của BC . Lấy cỏcđiểm D , E theo thứ ã à tự thuộc cỏc cạnh AB , AC sao cho DME = B . a) Chứng minh rằng tớch BD.CE khụng đổi. ã b)Chứng minh rằng DM là tia phõn giỏc củaBDE . c) Qua M kẻ MH vuụng gúc với DE H DE . Chứng minh rằng khi D và E thay đổi trờn cạnh AB và AC thỡ MH khụng đổi. Lời giải a) Chứng minh rằng tớch BD.CE khụng đổi. A ả ã 0 à Ta cúD1 + BMD = 180 - B EãMC + BãMD = 1800 - DãME E ã à ả ã Mà DME = B nờn D1 = EMC (1) Xột BMD và CEM cú: H D 2 à à 1 B = C (Vỡ ABC cõn tại A ) K ả ã D1 = EMC (cmt) B M C Do đú BMD ∽ CEM (g.g) BD BM CM CE BD.CE CM.BM a2 Suy ra: BD.CE khụng đổi. ã b)Chứng minh rằng DM là tia phõn giỏc củaBDE Vỡ BMD ∽ CEM (cmt) BM MD CM MD DM EM CE EM CE EM CM EC Xột MDE và CME cú:
5. DM EM (cmt) CM EC ã à DME = C (= Bà) Do đú MDE ∽ CME (c.g.c) ả ã ị D2 = EMC (2) ả ả Từ (1) và (2) suy ra: D1 = D2 ã Suy ra DM là tia phõn giỏc củaBDE c)Chứng minh rằng khi D và E thay đổi trờn cạnh AB và AC thỡ MH khụng đổi. Kẻ MK  AB K AB Xột HDM và KDM cú: ã ã 0 ả ả MHD = MKD (= 90 ), DM là cạnh chung, D1 = D2 (cmt) Do đú HDM = KDM (ch-gn) Suy ra MH MK Mà MK khụng đổi nờn MH khụng đổi khi D và E thay đổi trờn cạnh AB và AC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = =