Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - UBND huyện Hồng Lĩnh (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - UBND huyện Hồng Lĩnh (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN HỒNG LĨNH ĐỀ THI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ ( 10 điểm). ( Thí sinh chỉ ghi kết quả ) Câu 1: Cho biết a b 8 . Tính giá trị của biểu thức: M a(a 2) b(b 2) 2ab Câu 2: Tìm a và b sao cho x3 +ax+b chia cho x 1 thì dư 7, chia cho x 3 thì dư -5 Câu 3: Phân tích đa thức 2x3 5x2 4x 3 thành nhân tử Câu 4: Tìm tập nghiệm của phương trình: (x 5)2 (x 1)2 64 Câu 5: Cho(a 1)(b 2)(c 3) 100 và a b c 6 . Tính giá trị của biểu thức: P (a 1)3 (b 2)3 (c 3)3 Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy 2x y 13 Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2019 Câu 8: Tìm độ dài ba cạnh ( là số nguyên ) của tam giác vuông biết số đo chu vi bằng số đo diện tích Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại B , M là trung điểm cạnh BC và N là điểm nằm trên cạnh CA sao cho BN vuông góc với AM . Biết CN 2 cm. Tính độ dài cạnh AB Câu 10: Cho tam giác ABC , E là điểm nằm trên cạnh BC ( E nằm giữa B và C ). Qua E kẻ ED //AB , EK //AC ( D thuộc AC ; K thuộc AB ). Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích các tam giác CDE và BEK lần lượt là 16 cm2 và 25 cm2 II. PHẦN TỰ LUẬN. (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: (4.0 điểm) x 2 2x x2 4x 6 x2 1 Cho biểu thức A ( ) : (x 0, x 1, x 2) x 1 2 x x2 x 2 2x2 4x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Câu 12: (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao AD,BE,CF , gọi H là trực tâm, gọi M và N lần lượt là trungđiểm của AC và BC , đường thẳng qua M vuông góc với AC đường thẳng qua N vuông góc với BC cắt nhau tạiO . a)Chứng minh BDA đồng dạng với FBC , ABC đồng dạng với DBF , b) Chứng minh: AH 2ON c) Khi AH OA, tính góc BAC Câu 13: (2,0 điểm) 1 1 4 a) Cho a, b là các số thực dương khác nhau. Chứng minh a b a b
2. 1 1 1 1 1 b) Cho A ... Chứng minh rằng A 1 2019 2020 2021 6054 6055 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
3. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN HỒNG LĨNH Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHẦN I: (10 ĐIỂM) Câu 1: Cho biết a b 8 . Tính giá trị của biểu thức: M a(a 2) b(b 2) 2ab M a(a 2) b(b 2) 2ab (a b)2 2(a b) 82 2.8 80 Câu 2: Tìm a và b sao cho f (x) x3 +ax+b chia cho x 1 thì dư 7, chia cho x 3thì dư 5 Ta có f 1 7, f (3) 5 ( 1) ( a) b 7 a b 8 a 10 27 3a b 5 3a b 32 b 2 Câu 3: Phân tích đa thức 2x3 5x2 4x 3 thành nhân tử 7 5 2x3 5x2 4x 3 2x3 2x2 7x2 7x 3x 3 (x 1)(2x2 7x 3) 2(x 1)[(x )2 ( )2 ] 4 4 (x 1)(x 3)(2x 1) Câu 4: Tìm tập nghiệm của phương trình: (x 5)2 (x 1)2 64 (x 5)2 (x 1)2 64 (x 5 x 1)(x 5 x 1) 64 8(x 3) 64 x 5 Vậy S 5  Câu 5: Cho(a 1)(b 2)(c 3) 100 và a b c 6 . Tính giá trị của biểu thức: P (a 1)3 (b 2)3 (c 3)3 Đặt a 1 x , b 2 y , c 3 z ta có x y z 0 x3 y3 z3 3xyz Vậy P (a 1)3 (b 2)3 (c 3)3 3.100 300 Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy 2x y 13 xy 2x y 13 x(y 2) y 2 11 (x 1)(y 2) 11 x 1 1 1 - - 1 11 1 y 2 1 1 - - 1 1 11 x 1 0 - - 0 12 2 y 3 1 1 - 3 9 Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2019
4. A 13x2 y2 4xy 2y 16x 2019 (2x y 1)2 (3x 2)2 2014 2014 2 1 Min A 2014 khi x , y 3 3 Câu 8: Tìm độ dài ba cạnh (là số nguyên) của tam giác vuông biết số đo chu vi bằng số đo diện tích ab 2(a b c)(1) 2 2 2 Gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông là a,b,c Z Ta có: c b a (2) (a b)2 c2 4(a b) 4c (a b)2 4(a b) c2 4c a b c 4 a b c 4 Thay vào (1) ta có a.b 4c 8 a b c 4 4a 4b 4c 16 4a 4b ab 8 (a 4)(b 4) 8 Giải phương trình nghiệm nguyên, ta được a 6,b 8 Câu 9: Cho tam giác ABC vuông cân tại B , M là trung điểm cạnh BC và N là điểm nằm trên cạnh CA sao cho BN vuông góc với AM . Biết CN 2 cm. Tính độ dài cạnh AB A N B C M Đáp số: AB 3cm Câu 10: Cho tam giác ABC , E là điểm nằm trên cạnh BC ( E nằm giữa B và C ). Qua E kẻ ED / / AB , EK / / AC ( D thuộc AC ; K thuộc AB ). Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích các tam giác CDE và BEK lần lượt là 16 cm2 và 25 cm2
5. A D K B E C 2 Đáp số: SABC 81cm PHẦN II: (10 ĐIỂM) x 2 2x x2 4x 6 x2 1 Câu 11: (4.0 điểm) Cho biểu thức A ( ) : (x 0, x 1, x 2) x 1 2 x x2 x 2 2x2 4x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A Lời giải x 2 2x x 2 4x 6 x 2 1 a) A ( ) : (x 0, x 1, x 2) x 1 2 x x 2 x 2 2x 2 4x x 2 2x x2 4x 6 x2 1 A ( ) : x 1 x 2 (x 1)(x 2) 2x(x 2) x2 4 2x(x 1) x2 4x 6 2x(x 2) A . (x 1)(x 2) x2 1 2.2x(x 1)(x 2) A (x 2)(x 1)(x2 1) 4x A x2 1 2(x2 2x 1) 2(x 1)2 b) Ta có A 2 => A 2 2 x2 1 x2 1 MaxA 2 Khi x 1 Câu 12: (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao AD,BE,CF , gọi H là trực tâm, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC , đường thẳng qua M vuông góc với AC đường thẳng qua N vuông góc với BC cắt nhau tạiO . a) Chứng minh BDA đồng dạng với FBC , ABC đồng dạng với DBF , b) Chứng minh: AH 2ON c) Khi AH OA, tính góc BAC
6. Lời giải: A E M O F H B C D N A' a) Xét DAB và FCB có ·ADB C· FB 900 , ·ABC chung => DAB FCB (g.g) Xét ABC và DBF có ·ABC chung DB FB ( DAB FCB ) BA BC ABC DBF ( c.g.c) b) Trên tia AO lấy điểm A'sao cho OA=OA' Xét AA'H có OA OA' , ON / / AH ( Cùng vuông góc với BC ) ON đi qua trung điểm của A'H Vậy ON la đường trung bình của AA'H 1 ON AH 2 AH 2ON 1 1 c) Khi AO AH ta có AO OC,ON AH ON OC 2 2 1 Trong NOC vuông tại N có ON OC N· OC 600 2 Lại có N· OC N· OB ( vì OBC cân tại O ) · COB 1200 mà B· AC B· AO C· AO
7. 1 1 1 B· OA' C· OA') B· OC 600 2 2 2 Vậy AH OA thì B· AC 600 Câu 13: (2 điểm) 1 1 4 a) Cho a, b là các số thực dương khác nhau. Chứng minh a b a b a,b 0,a b (a b)2 0 (a b)2 4ab a b 4 1 1 4 ab ab a b ab 1 1 1 1 1 b) Cho A ... Chứng minh rằng A 1 2019 2020 2021 6054 6055 Áp dụng câu a ta có 1 1 1 1 1 1 1 A ( ) ( ) ... ( ) 2019 2020 6055 2021 6054 4037 4038 1 4 4 4 A ( ... ) 2019 2020 6055 2021 6054 4037 4038 1 1 1 1 A ... ( có 2019 phân số) 2019 2019 2019 2019 A 1