Đề kiểm tra học sinh năng khiếu môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề kiểm tra học sinh năng khiếu môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2018-2019 ĐỀ THI HSG SỐ 56 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra: 16 tháng 3 năm 2019 Bài 1: (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 2 x 3 x 4 24 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 4 Bài 2: (3,0 điểm) 2 2 x 3 x 3 x2 9 1. Giải phương trình: 6 7 2 x 2 x 2 x 4 2. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn : x2 y2 5x2 y2 60 37xy Bài 3: (3,0 điểm) 1. Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn: x3 y3 z3 3xyz và xyz 0 . 16 x y 3 y z 2019 z x Tính giá trị biểu thức P z x y 27 12x 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 9 Bài 4: (3,0 điểm) 1. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng: tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. 2. Cho đa thức F(x) x3 ax2 bx c (với a,b,c R) . Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x 1 dư 4 , đa thức F(x) chia cho đa thức x 2 dư 5 . Hãy tính giá trị của A a2019 b2019 b2020 c2020 c2021 a2021 Bài 5: (6,0 điểm) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB , vẽ các tia Ax , By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C ( C A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D . 1. Chứng minh: AB2 4AC.BD 2. Kẻ OM  CD tại M . Chứng minh: CO là tia phân giác góc ACD và AC MC . 3. Tia BM cắt tia Ax tại N . Chứng minh: C là trung điểm AN . 4. Kẻ MH  AB tại H . Chứng minh: Các đường thẳng AD , BC , MH đồng quy. Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số nguyên n sao cho n3 2018n 20202019 4 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang)
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN 8 Bài 1: (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 2 x 3 x 4 24 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 4 Lời giải 1) Ta có x 1 x 2 x 3 x 4 24 x2 5x 4 x2 5x 6 24 Đặt x2 5x 4 t x2 5x 4 x2 5x 6 24 t 1 t 1 24 t2 25 t 5 t 5 x2 5x x2 5x 10 2 2 2) Ta có x4 4 x2 2 2x x2 2x 2 x2 2x 2 Bài 2: (3,0 điểm) 2 2 x 3 x 3 x2 9 1. Giải phương trình: 6 7 2 x 2 x 2 x 4 2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn : x2 y2 5x2 y2 60 37xy Lời giải 2 2 x 3 x 3 x2 9 1) 6 7 (đkxđ: x 2 ) 2 x 2 x 2 x 4 x 3 x 3 Đặt a; b , ta có a2 6b2 7ab x 2 x 2 a b a 6b 0 a b hoặc a 6b Giải PT: a b tìm được x 0 (TMĐK) Giải PT: a 6b tìm được x 1 hoặc x 6 (TMĐK) Kết luận 2) x2 y2 5x2 y2 60 37xy 2 2 x y 5x2 y2 35xy 60 x y 5 xy 3 4 xy Vì VT 0 nên 5 xy 3 4 xy 0 . Suy ra 3 xy 4 xy 3 hoặc xy 4 (vì xy nguyên) 2 Với xy 3 và x y 0 thì x y và x2 3 (loại) 2 Với xy 4 và x y 0 thì x y 2 và x y 2 (loại)
3. Bài 3: (3,0 điểm) 1. Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau, thỏa mãn: x3 y3 z3 3xyz và xyz 0 . 16 x y 3 y z 2019 z x Tính giá trị biểu thức P z x y 27 12x 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 9 Lời giải 1) Ta có x3 y3 z3 3xyz x y z x2 y2 z2 xy yz zx 0 Do x, y, z đôi một khác nhau x y x 0 Thay x y z; y z x; z x y ta có P 16 3 2019 2000 2 27 12x x 6 2) Viết được A 1 1 x2 9 x2 9 Amin 1 khi x 6 2 27 12x 2x 3 Viết được A 4 4 x2 9 x2 9 Amax 4 khi x 1,5 Bài 4: (3,0 điểm) 1. Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng: tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. 2. Cho đa thức F(x) x3 ax2 bx c (với a,b,c R) . Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x 1 dư 4 , đa thức F(x) chia cho đa thức x 2 dư 5 . Hãy tính giá trị của A a2019 b2019 b2020 c2020 c2021 a2021 Lời giải 2 1) Gọi hai số chính phương liên tiếp là k2 và k 1 2 2 2 2 2 Ta có k k 1 k k 1 k k 1 1 Lập luận và kết luận 2) Gọi thương của phép chia F(x) cho x 2 và x 1 là P(x),Q(x) Ta có F(x) x3 ax2 bx c x 2 .P(x) 5 (1) F(x) x3 ax2 bx c x 1 .Q(x) 4 (2) Thay x 2 vào (1) ta được 4a 2b c 3 (3) Thay x 1 vào (2) ta được a b c 3 (4) Từ (3) và (4) ta có a b . Nêu A 0 Bài 5: (6,0 điểm)
4. Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB , vẽ các tia Ax , By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm C ( C A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D . 1. Chứng minh: AB2 4AC.BD 2. Kẻ OM  CD tại M . Chứng minh: CO là tia phân giác góc ACD và AC MC . 3. Tia BM cắt tia Ax tại N . Chứng minh: C là trung điểm AN . 4. Kẻ MH  AB tại H . Chứng minh: Các đường thẳng AD , BC , MH đồng quy. Lời giải 1) Chứng minh được ACO và BOD đồng dạng AB2 4AC.BD 2) ACO và BOD đồng dạng OC OD OC OD hay AC OB AC OA Đưa ra đk và kl: ACO và OCD đồng dạng ·ACO D· CO Chứng minh: ACO MCO(ch gn) AC CM CA CM 3) Nêu ra được BD DM (tương tự câu 2) BD DM CN CM Sử dụng hệ quả định lí TaLét đưa ra (vì CN //BD ) BD DM Do đó suy ra CA CN 4) Gọi K là giao điểm của MH và BC HK MK Nêu ra được AC NC Suy ra MK HK hay BC cắt MH tại trung điểm của MH Tương tự AD cắt MH tại trung điểm của MH Vậy MH , BC , AD đồng quy tại K là trung điểm MH Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số nguyên n sao cho n3 2018n 20202019 4 Lời giải Ta có n3 2018n n3 n 2019n chia hết cho 3 . Ta có 20202019 4 chia 3 dư 2 Vậy không tìm được n. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =