Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Kim Thành (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT huyện Kim Thành (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC: 2017 – 2018 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 x3 y x y b) ab(a b) bc(b c) ca(c a). x2 6 1 10 x2 Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tìm điều kiện của x để M xác định và rút gọn M ; b) Tìm tất cả các giá trị của x để M 0 . Bài 3: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x3 5x2 8x 4 0 b) 6x 4.3x 27.25 108 0 Bài 4: (2,0 điểm) a) Xác định một đa thức bậc ba f(x) không có hạng từ tự do sao cho: f (x) f (x 1) x2 n(n 1)(2n 1) b) Chứng tỏ rằng 12 22 32 ... (n 1)2 n2 ( với mọi n ¥ ) 6 Bài 5: (6, 0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéoBD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD . Chứng minh: a) Tứ giác BEDF là hình bình hành. b) CH.CD CBCK c) ABAH ADAK AC2 Bài 6: (4, 0 điểm) 4x 1 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . x2 3 b) Cho tam giác ABC,O là điềm thuộc miền trong của tam giác, các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. OA OB OC Chứng minh rằng: 2 . AD BE CF = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!
2. Tài liệu được chia sẻ bởi Website VnTeach.Com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Năm học: 2017-2018 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (2,0 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x4 x3 y x y b) ab(a b) bc(b c) ca(c a). Lời giải a) x4 x3 y x y x3 (x y) (x y) (x y)(x 1) x2 x 1 b) ab(a b) bc(b c) ca(c a) ab[a c (b c)] bc(b - c) ca(c - a) bc(b c) ab(b c) ca(c a) ab(c a) b(b c)(c a) a(c a)(b c) (b a)(b c)(c a) x2 6 1 10 x2 Bài 2: (3,0 điểm) Cho biểu thức M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Tìm điều kiện của x để M xác định và rút gọn M ; b) Tìm tất cả các giá trị của x để M 0 . Lời giải a) Đkxđ: x 0; x 2 x2 6 1 10 x2 M 3 : x 2 x 4x 6 3x x 2 x 2 x2 6 1 x2 4 10 x2 : x(x 2)(x 2) 3(2 x) x 2 x 2 x 2 3x2 6x(x 2) 3x(x 2) 6 18x x 2 1 : . 3x(x 2)(x 2) x 2 3x(x 2)(x 2) 6 x 2 1 b) M 0 0 x 2 ; x 0; x 2 x 2 Bài 3: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) x3 5x2 8x 4 0 b) 6x 4.3x 27.25 108 0 Trang 2
3. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Lời giải a) x3 5x2 8x 4 0 x3 x2 4x2 4x 4x 4 0 (x 1)(x 2)2 0 x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 S {1,2} TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC b) 6x 4.3x 272x 108 0 2x 3x 43x 272x 108 0 3x 2x 4 27 2x 4 0 3x 27 (2x 4) 0 x 3 hoặc x 2 S {2;3}. Bài 4: (2,0 điểm) a) Xác định một đa thức bậc ba f(x) không có hạng từ tự do sao cho: f (x) f (x 1) x2 n(n 1)(2n 1) b) Chứng tỏ rằng 12 22 32 ... (n 1)2 n2 ( với mọi n ¥ ) 6 Lời giải a) Theo bài cho đa thức f (x) có dạng f (x) ax3 bx2 cx Khi x 1 ta có a b c 1 Khi x 0 ta có a b c 0 Khi x 2 ta có 8a 4b 2c a b c 4 Từ (1),(2), (3) ta có hệ a b c 1 a b c 0 7a 3b c 4 1 1 1 Giải hệ phương trình ta được a ;b ;c 3 2 6 Trang 3
4. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 1 1 1 Vậy đa thức f (x) x3 x2 x 3 2 6 n(n 1)(2n 1) b) Chứng tỏ rằng 12 22  n2 (n N) . Chứng minh bằng phương 6 pháp quy nạp 1.(1 1)(2.1 1) Với n 1 ta có 12 1 6 Giả sử đẳng thức đúng với n k k(k 1)(2k 1) 12 22 32  k 2 TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 6 Ta chứng minh đẳng thức đúng với n k 1. Thật vậy với n k 1ta có k(k 1)(2k 1) 12 22 32  k 2 (k 1)2 (k 1)2 6 (k 1)(k(2k 1) 6(k 1)) (k 1)(k 2)(2(k 1) 1) 6 6 (k 1)(k 1 1)[2(k 1) 1] 6 Bài 5: (6, 0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD . Chứng minh: a) Tứ giác BEDF là hình bình hành. b) CH.CD CBCK c) ABAH ADAK AC2 Lời giải H B C F E A D K a) Chứng minh BEDF là hình bình hành BAC DCA(g.c.g) BE DF ; BE / /DF ( cùng vuông góc AC) Trang 4
5. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Xét tứ giác BEDF có BE DF, BE / /DF Nên BEDF là hình bình hành BC DC b) HBC∽ KDC CH.CD CB.CK CH CK c) AEB∽ AHC AB.AH AE.AC AD.AK AF.AC AB.AH AD.AK (AE AF).AC Mà AF CE nên AE AF AE CE TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC AB.AH AD.AK AC 2 Bài 6: (4, 0 điểm) 4x 1 a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . x2 3 b) Cho tam giác ABC,O là điểm thuộc miền trong của tam giác, các tia AO, BO, CO cắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F. OA OB OC Chứng minh rằng: 2 . AD BE CF Lời giải A E F O C B D a) Ta có 4x 1 (x 2)2 P 1 1 0 x2 3 x2 3 P 1 0 x P 1 . Dấu “=” xảy ra khi x 2 4 4x 1 4 4x2 12x 9 (2x 3)2 P 0 x 3 x2 3 3 x2 3 x2 3 Trang 5
6. TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 4 4 3 P 0 P khi x 3 3 2 OA S S S S b) OAB OAC OAB OAC AD SDAB SDAC SABC OB S S OC S S OAB OBC ; OBC OAC BE SABC CF SABC OA OB OC 2S Cộng vế với vế ta được ABC 2 AD BE CF SABC TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 6