Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán cực trị

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán cực trị

1. PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1 . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1.1. Cơ sở lý luận * Mục tiêu đào tạo của trường THCS là phải trau dồi cho học sinh những kiến thức và kỹ năng cơ bản của các môn học nhằm góp phần giáo dục toàn diện cho các em, trên cơ sở đó các em vận dụng sáng tạo vào trong đời sống và trong kỹ thuật. * Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên , kiến thức được vận dụng rất nhiều trong thực tiễn. Vì vậy, việc truyền thụ những kiến thức cơ bản của bộ môn cho học sinh góp phần không nhỏ trong việc hoàn thành mục tiêu đào tạo của cấp học. * Để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi nói riêng, ngoài việc giúp học sinh nắm vững lý thuyết cần phải rèn luyện kỹ năng vận dụng và ứng dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo. Việc hình thành cho học sinh phương pháp giải bài tập Toán theo chủ đề, theo các mảng kiến thức sẽ giúp học sinh tiếp cận nhanh với đề ra, từ đó phán đoán các phương án giải bài tập một cách nhanh nhất. Vì vậy, việc phân loại bài tập là vô cùng cần thiết đối với mọi học sinh. 1.2. Cơ sở thực tiễn * Trong quá trình dạy học Toán ở THCS tôi nhận thấy: nhiều kiến thức trong chương trình chỉ được trình bày một cách khái lược, hình thành cho học sinh những kiến thức Toán cơ bản ban đầu mà không đi sâu vào khai thác vận dụng, bên cạnh đó sự sáng tạo và hình thành kiến thức của học sinh còn hạn chế. Vì vậy, phần lớn học sinh chưa thực sự nắm vững, hiểu sâu về các kiến thức, việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập trong quá trình bồi dưỡng phụ đạo gặp không ít khó khăn. Và đây cũng là một trong những nguyên nhân gây nên hiện tượng ngại học bộ môn Toán trong học sinh. * Trong chương trình Toán 9 phần Đại số , tôi thấy phần Giải bài toán cực trị là một dạng lí thuyết hay và là trọng tâm của bộ môn Đại số 9 trong lĩnh vực bồi dưỡng học sinh giỏi, bài tập về Giải bài toán cực trị rất phong phú, đa dạng và cũng thường được dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi học kì. Đặc biệt là
2. các bài tập mang tính tư duy nhiều sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức, nắm vững phương pháp giải, tăng hiệu quả học tập và khả năng tư duy của học sinh, để từ đó học sinh tích cực chủ động trong việc tiếp cận tri thức, đồng thời giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng cơ bản khi giải bài tập về Tính chất dãy tỉ số bằng nhau Trên cơ sở đó tôi xin trình bày kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải toán cực trị ”. với mong muốn hoạt động dạy và học của giáo viên cũng như học sinh sẽ thu được kết quả cao hơn. Ngoài ra, cũng muốn tạo ra hướng đi mới trong việc tham khảo các loại sách bài tập nâng cao. 2. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2.1. Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp bất đẳng thức - Phương pháp đồ thị hình học - Phương pháp dùng miền giá trị để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 2.2. Phạm vi nghiên cứu Bài tập về tính chất dãy tỉ số bằng nhau có thể được phân thành nhiều dạng khác nhau: 1. Tìm giá nhỏ nhất hoặc lớn nhất của tam thức bậc hai 2. Dùng bất đẳng thức cô si để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 3. Dùng miền giá trị để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 3. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1. Mục tiêu nghiên cứu Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán học nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nói riêng Giúp học sinh giải quyết bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong các kì thi học kì và học sinh giỏi Góp phần tạo hứng thú cho học sinh khi học Toán. 3.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa và các bước giải bài tập về tính chất dãy tỉ số bằng nhau Xét một số bài tập nâng cao để bồi dưỡng học sinh khá giỏi. 4. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
3. Nếu nghiên cứu đưa ra và áp dụng tốt phương pháp chung để giải quyết đa số các bài toán về Tính chất dãy tỉ số bằng nhau có thể giúp học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Điều tra số liệu. - Thực nghiệm dạy học. 6. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài này tôi đã áp dụng vào việc ôn tập đại trà , bồi dưỡng học sinh khá, giỏi và đã thấy đạt được một số hiệu quả nhất định. Nâng cao được ý thức tự học, tính sáng tạo và hứng thú học tập cho học sinh. PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Lý thuyết: a, Để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của một biểu thức nào đó cho trên một miền D nào đó , ta sẽ tiến hành theo 2 bước - Chứng minh một bất đẳng thức - Tìm một điểm của D sao cho ứng với giá trị ấy , bất đẳng thức vừa tìm được sẽ trở thành đẳng thức Bất đẳng thức cô si : với 2 số a,b không âm thì a+b 2 ab (1) dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi a = b + Nếu ab = m ( không đổi ) thì min ( a+b) = 2 m ( khi và chỉ khi a= b) Bất đẳng thức trên cũng đúng với n số không âm Nếu a ,a ,a ,......,a 0 thì a a a ...... a n a a a ...a 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n Và nếu a a a ...... a = k (không đổi ) thì Min ( a a a ...... a =n. n k 1 2 3 n 1 2 3 n ( khi và chỉ khi a1 a2 a3 ....an ) n k + Nếu a1 a2 a3 ...... a =k ( không đổi ) thì Max a1.a2a3...an ( khi và chỉ n n khi a1 a2 a3 ....an )
4. 1.2. Các phương pháp giải toán: a.Phương pháp bất đẳng thức Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tam thức bậc hai Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A= x 2 4x 1 Có thể đưa biểu thức về một hằng đẳng thức và cộng hoặc trừ với một số nào đó được không ? Giải : A= x 2 4x 1= x2 4x 4 3 (x 2)2 3 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A= -3 khi và chỉ khi x=-2 Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của B= 1+6x-x 2 Ta có thể chứng minh B nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị nào đó được không ? Giải : B= 1+6x-x 2 =-( x 2 6x 9) 10 (x 3)2 10 10 Vậy giá trị lớn nhất của B=10 khi và chỉ khi x=3 x 2 2x 2016 Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)= với x 0 x 2 Giải: Có thể biến đổi biểu thức rồi đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai được không ? 2 2016 1 Ta có f(x) = 1- đặt t= , bài toán trở thành tìm GTNN của x x 2 x 1 2015 2015 1 2015 F(t)= 1-2t+2016t 2 hay f(t) = 2016( t- )2 f (t) vàf ( ) 2016 2016 2016 2016 2016 2015 VẬY GTNN f(x)= khi và chỉ khi x=2016 2016 Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của phân thức có tử là hằng số , mẩu là tam thức bậc hai Bài tập 1: Tìm GTLN của biểu thức 3 M= 4x 2 4x 5 3 3 Giải : M= = 4x 2 4x 5 (2x 1)2 4 Ta thấy (2x-1) 2 0 nên (2x-1) 2 4 4 3 3 Do đó ( quy tắc so sánh hai phân số cùng tử , tử và mẫu đều dương) (2x 1)2 4 4
5. 3 1 GTLN M = x 4 2 Có thể lập luận được rằng Vì M có tử là một hằng số nên M lớn nhất không ? 1 Sẽ không chính xác dễ dẫn đến sai lầm , chẳng hạn với phân thức có giá trị nhỏ x2 3 1 1 nhất là -3 khi x=0 . Nhưng với x= 0 thì = không phải là giá trị lớn nhất của x2 3 3 1 1 phân thức ( chẳng hạn với x=2 thì =1 lớn hơn ) x2 3 3 Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của phân thức có mẩu là bình phương của một nhị thức x2 x 1 Bài tập 1: Tìm GTNN của A= (x 1)2 x2 x 1 Có thể đưa thành một phương trình bậc hai với ẩn khác không ? (x 1)2 1 Giải : Viết tử thức dưới dạng lũy thừa của x+1 rồi đổi biến đặt y= x 1 (x2 2x 1) (x 1) 1 (x 1)2 (x 1) 1 1 1 A= = 1 (x 1)2 (x 1)2 x 1 (x 1)2 1 3 3 A = 1-y+ y 2 = (y- (y )2 2 4 4 3 1 Vậy Min A = y= x=1 4 2 Bài tập ứng dụng : Bài tập 1: a. Tìm GTNN của biểu thức A= 2 x2 20x 53 b. Tìm GTLN của biểu thức B= -5 x2 4x 1 x2 3x 3 Bài tập 2: Tìm GTNN của biểu thức C= x2 2x 1 2x 1 Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức C= x2 2 b. Dùng bất đẳng thức Cô Si để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 1 1 1 Bài tập 1: Cho x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức x y 2
6. A= x y 1 1 Giải : Vì x > 0 , y > 0 nên 0 ; 0 ; x 0; y 0 x y 1 1 Vận dụng bất đẳng thức Cô Si với hai số dương ; ta được x y 1 1 1 1 1 1 2( ) suy ra suy ra xy 4 x y x y xy 4 Vận dụng bất đẳng thức cho hai số dương x, y ta được A= x y 2 x y 2 4 =4 ( Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x=y=4) Vậy min A = 4 khi x=y=4 Bài tập 2: Tìm GTLN của biểu thức A= 3x 5 7 3x Giải : Ở bài tập này đầu tiên ta tìm đkxđ : 5 7 ĐKXĐ x 3 3 Ta sử dụng chiều ngược lại của bất dẳng thức Cô Si 1 3x 5 1 7x 3 A= 1(3x 5) 1(7 3x) suy ra A 2 2 2 Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 3x-5=7x-3 x=2 Vậy Max A= 2 x=2 a b ab Bài tập 3: Cho a, b >0 Tìm GTNN của biểu thức B= ab a b Ở bài tập này học sinh dễ mắc sai lầm là sẽ sử dụng ngay bđt Côsi a b ab a b ab Ví dụ B= 2 2 suy ra min B=2 ab a b ab a b a b ab Đây là một cách làm sai lầm vì min B=2 khi và chỉ khi 1 ab a b ab a b 2 ab 1 2 điều này vô lí, do vậy ta cần làm như sau a b ab a b ab 3(a b) a b ab 3(a b) Ta có : B = = 2 ab a b 4 ab a b 4 ab 4 ab a b 4 ab
7. 3 5 B 1 2 2 5 Vậy với a=b thì min B = 2 Bài 4: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z =2 . Tìm GTNN của bieur thức x 2 y 2 z 2 P= z y z y x y Giải: Đây là một bài toán tương đối khó , nếu chúng ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô Si . Vậy chúng ta tìm hướng giải quyết thế nào ? Ta cần bổ sung hạng tử vào bất đẳng thức đẵ cho, nhưng thêm làm sao để khi vận dụng để khi vận dụng bất đẳng thức Cô Si có thể khử được mẩu và tìm được giá trị x,y,z để đẳng thức xãy ra x2 Có thể thêm y+z vào hạng tử được không ? z y Với cách thêm này tuy là khử được mẩu nhưng không tìm được x,y,z để đẳng thức xãy ra , do đó không tìm được giá trị nhỏ nhất của P Do vậy ta giải như sau: x2 y x Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương và ta được z y 4 x2 y x x2 y z x 2 2. x z y 4 z y 4 2 y 2 z x Tương tự y z x 4 z 2 y x z y x 4 x2 y 2 z 2 x y z Suy ra ( ) x y z z y z y x y 2 x y z 2 P (x y z) 1 ( dấu “=” xãy ra x=y=z= 2 3 2 Vậy min P =1 x=y=z= 3
8. Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức A= x 9 x Bài 2: Cho a, b, c 0 và a+b+c =1 Tìm GTLN của B= 3 a b 3 b c 3 c a Bài 3: Cho x,y,z >0 và x 2016 y 2016 z 2016 =3 Tìm GTLN của M= x 2 y 2 z 2 Bài 4: Cho ba số x, y , z thỏa mãn x+y+z 4 Tìm GTNN của biểu thức x 2 y 2 z 2 P= ( Đề thi vào trường chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2007-2008) z y z y x y c. Phương pháp đồ thị và hình học Nhận xét: Để giải bài toán tìm GTLN và GTNN của một biểu thức đại số bằng phương pháp đồ thị và hình học, ta thường sử dụng các tính chất sau - Trong tam giác tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba - Cho điểm M ở ngoài đường thẳng d cho trước , khi đó độ dài đường vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn nhất -Trong các tam giác cùng nội tiếp đường tròn thì tam giác đều là tam giác có chu vi và diện tích lớn nhất -Nếu như một bài toán tìm GTLN và GTNN , bằng một phép biến đổi nào đó có thể quy về các sự kiện hình học nói trên , thì ta nên dùng phương pháp đồ thị hình học để giải chúng Bài tập 1: Tìm GTLN của M= x 2 6x 34 x 2 6x 10 với x R 2 2 Giải : Ta viết M= x 3 52 x 3 12 Dễ thấy x=3 thì M=4 Nếu x=3 ta dựng tam giác ABC vuông tại A có AC=5 , AB= x 3 Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=1. Theo định lý PiTaGo ta có BC= AB 2 AC 2 x 3 2 52 BD= AB2 AC 2 x 3 2 12
9. Trong tam giác BCD ta có BC-BD <DC hay là x 3 2 52 x 3 2 12 <4 Như vậy M<4 mà x = 3 thì M=4 . Từ đó suy ra max M=4 khi x=3 Bai tập 2: Tìm GTLN của M= x 2 x 1 x 2 3x 1 với x R Giải : Ta viết P(x) như sau 2 1 3 3 1 1 3 3 1 P(x) = (x )2 ( )2 (x )2 ( )2 = (x )2 (0 )2 (x )2 0 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta biết rằng khoảng cách giữa hai điểm M(x x1, y1 ) và N ( x2 , y2 ) trên mặt phẳng tọa độ với các tọa độ được tính bởi công thức 2 2 MN = (x2 x1 ) (y2 y1 ) Từ đó nếu gọi A,B,C là các điểm trên mặt phẳng tọa độ với các tọa độ như sau: 1 3 3 1 A( ; ) B( ; ) C( x;0) khi đó ta có P(x) = CA+CB 2 2 2 2 3 1 1 3 Rõ ràng ta có CA+CB AB trong đó AB = ( )2 ( )2 2 2 2 2 2 Vậy P(x) 2 với x R Mặt khác giả sử AB cắt ox tại C 0 ta có C 0 A+ C 0 B= AB. Như vậy nếu đặt x 0 = 0C 0 thì P(x 0 ) =2. Vậy min P(x) =2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm GTNN của a, P(x) = x 2 x 1 x 2 x 1 với x R b, P(x) = x2 x 1 x2 5x 1 với x R Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A= x 2 x 1 x 2 x 2 x 1
10. d. Phương pháp dùng miền giá trị để tìm GTLN, GTNN Việc tìm ra GTLN, GTNN của biểu thức P(x) nếu như x thuộc D ( D là miền giá trị của P(x)) . Gọi P 0 là giá trị tùy ý của P9x) xét trên miền giá trị đã cho . Điều đó có nghĩa P(x) P0 là hệ phương trình sau đây (ẩn x) có nghiệm x D Tùy dạng bài toán của hệ mà ta có điều kiện thích hợp trong nhiều trường hợp , điều kiện ấy ( sau khi biến đổi và rút gọn ) sẽ đua về dạng P0  Vì P 0 là một giá trị bất kì của P(x) nên ta thu được min P(x) = và max P(x) =  Như vậy để tìm GTLN và GTNN của một biểu thức , nếu dùng phương pháp này , ta quy về tìm điều kiện để một phương trình ( có thêm điều kiện phụ) có nghiệm Bài tập: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức x 2 x 1 P(x)= với x R x 2 x 1 Giải : Gọi P 0 là giá trị tùy ý của biểu thức . Vậy phương trình sau đây (ẩn x) có nghiệm x 2 x 1 = P (1) do đó x 2 x 1 0 với x R, vậy (1) x2 x 1 ( x2 x 1). P x 2 x 1 0 0 2 ( P 0 -1). x +( P 0 +1).x + P 0 -1=0 (2) Xét hai khả năng + Nếu P 0 -1=0 thì P 0 =1 thì (2) có nghiệm x=0 + Nếu P 0 -1 0 thì P 0 1 thì (2) là phương trình bậc hai đối với x. Do đó (2) có nghiệm 2 2 = (P 0 +1) 4( P 0 -1) 0 1 (3 P -1)( P -3) 0 P 3 0 0 3 0 Gộp cả hai khả năng ta có : 1 Min P(x) = x=1 3 Max P(x)= 3 x=-1 Bài tập áp dụng : Bài tập 1: Tìm GTLN và GTNN của x 2x2 4x 5 a. A= b. B= x 2 1 x2 1
11. 2x2 mx n Bài tâp 2: Tìm các số m, n để P(x) = Nhận GTNN =1 , GTLN =6 x2 1 Bài tập 3: Cho phương trình ( m2 m 1).x 2 (m2 m 1).x 1 0 Tìm GTLN của P= x1.x2 và GTLN S= x1 x2 1.3 Số liệu khảo sát đầu năm Khi chưa áp dụng đề tài tôi đưa ra bài toán như sau: Tìm GTNN của biểu thức A= x 9 5x TSHS Giỏi Khá Trung Yếu Kém bình TS % TS % TS % TS % TS % Đầu 28 1 3,6 6 21,4 11 39,3 6 21,4 4 14,3 năm 3. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Kết quả sau khi áp dụng đề tài: Được khảo sát với những học sinh bồi dưỡng tham dự thi Olimpic cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2014-2015. Cũng với bài tập đã áp dụng với học sinh tham gia bồi dưỡng dự thi Olimpic cấp huyện môn Toán lớp 9 năm học 2014-2015. Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến Điểm từ 7 đến Điểm từ 8 đến 10 dưới 7 dưới 8 12,85% 42,80% 20,05% 24,3% Như vậy, sau khi áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy tôi thấy học sinh có sự tiến bộ rõ rêt. Bên cạnh việc nắm vững hơn những kiến thức cơ bản về toán cực trị cùng theo đó là kỹ năng giải các bài tập về toán cực trị cũng được cải thiện đáng kể. Đó là nguồn động viên tôi có thêm tinh thần say mê đối với nghề nghiệp, tích cực học hỏi, tích lũy kinh nghiệm nhằm truyền đạt lại kiến thức cho học sinh một cách có hiệu quả hơn.
12. PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1. KẾT LUẬN 1/.Bài học kinh nghiệm: Ưu điểm: Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh: - Không còn sợ dạng toán cực trị, dạng toán có tham số các em cũng nắm được và vận dụng tốt vào giải các bài toán tương tự. - Khi đưa ra một bài toán các em nhận dạng nhanh được bài toán đó ở dạng nào. - Các em có kỹ năng tính toán nhanh nhẹn, các em đã biết cách biến đổi từ những dạng toán phức tạp về dạng đã biết cách giải. - Các em không còn sợ dạng toán này nữa. - Qua những bài tập đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù hợp kiến thức trong chương trình. Nhược điểm: - Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp thì phải đưa vào giờ dạy tự chọn hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi nếu không sẽ không có thời gian để luyện tập cho học sinh. -Toán về tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với các dạng toán bất đẳng thức phức tạp mà chưa đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm này được. Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến. 2. KIẾN NGHỊ 1. Đối với cấp trên 2. Đối với các trường: - Các trường cần tạo điều kiện thuận lợi nhất cho các giáo viên giảng dạy môn Toán cả về điều kiện vật chất, cách sắp xếp thời khoá biểu cũng như trong phân công chuyên môn vì bộ môn Toán là một bộ môn khoa học tự nhiên, giáo viên giảng dạy Toán thường tốn nhiều thời gian chuẩn bị bài trước khi lên lớp. . 3. Đối với giáo viên Để hướng dẫn học sinh giải các bài tập về toán cực trị trước hết cần cung cấp, củng cố, khắc sâu các kiến thức liên quan, các bài tập đưa ra cho học sinh phải có tính hệ thống và đi từ bài dễ đến bài khó. Trong các bài giải khi cần yêu cầu học sinh nắm được bài ra cho cái gì và yêu cầu làm gì và định hướng cách giải nào
13. * Các bài tập tôi đưa ra trên đây có thể là không điển hình, cách giải có thể chưa thật gọn, trong các bài giải trên có thể có nhiều cách giải hay hơn, sắc sảo hơn. Kính mong các đồng nghiệp góp ý bổ sung để bài viết được hoàn thiện hơn. * Bài viết được hoàn thành bên cạnh sự nỗ lực học hỏi, tìm tòi của bản thân là sự giúp đỡ tận tình của các đồng nghiệp, nhưng không vì thế mà không còn nhiều thiếu sót. Vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của các thầy giáo cô giáo và các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm trên thực sự có tác dụng trong giảng dạy, bồi dưỡng học sinh. Hà Tĩnh, ngày 10 tháng 01 năm 2017