Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Thường Tín (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT huyện Thường Tín (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 8 MÔN TOÁN ĐỀ THI HSG SỐ 25 NĂM HỌC: 2018-2019 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: x2 1 x3 1 x4 x3 x 1 A , x 0; x 1 x x2 x x x3 a) Rút gọn A? b) Tìm A biết x thoã mãn: x2 x 12 6 c) Chứng minh rằng: A 4 . Từ đó tìm x để B nhận giá trị nguyên? A Bài 2: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: 3 2 4 9 a) x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 b) x4 30x2 31x 30 0 Bài 3: (2,0 điểm) a b c a2 b2 c2 Cho 1 chứng minh rằng: 0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . a) Tính tổng: HD HE HF AD BE CF b) Chứng minh: BH.BE CH.CF BC 2 . c) Chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác DEF . d) Trên cạnh HB,HC lấy các điểm M,N tuỳ ý sao cho HM CN . Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương. 1 1 1 2 1 b) Cho x, y, z khác 0 thoã mãn: 2 và 4 x y z xy z2 2018 Tính D x 2y z = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: x2 1 x3 1 x4 x3 x 1 A , x 0; x 1 x x2 x x x3 a) Rút gọn A? b) Tìm A biết x thoã mãn: x2 x 12 6 c) Chứng minh rằng: A 4 . Từ đó tìm x để B nhận giá trị nguyên? A Lời giải a) Rút gọn A Với x 0,x 1 x2 1 x3 1 x4 x3 x 1 A x x2 x x x3 x2 1 x2 x 1 x2 1 x x x x x2 2x 1 x x 1 2 x b) Tìm A biết x thoã mãn: x2 x 12 Ta có: x2 x 12 x2 x 12 0 x 3 x 4 loai 16 Khi x 3 thì A . 3 6 c) Chứng minh rằng: A 4 . Từ đó tìm x để B nhận giá trị nguyên A 2 x 1 4x Vì x 0 nên 4 A 4 x x 6 6x Ta có B 0 vì x 0 A x 1 2
3. 6 6 Vì A 4 1,5 A 4 Suy ra 0 B 1,5 mà B nhận giá trị nguyên nên B 1 6x 2 2 x 2 3 B 1 khi 2 1 6x x 1 x 4x 1 0 x 1 x 2 3 x 2 3 Vậy B 1 khi x 2 3 Bài 2: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: 3 2 4 9 a) x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 b) x4 30x2 31x 30 0 Lời giải a) Điều kiện x 6; 4; 1;3 3 2 4 9 x2 5x 4 x2 10x 24 3 x2 3x 18 3 x 6 2 x 1 9 4 x 1 x 4 x 6 x 3 x 6 3 5 9 4 x 1 x 6 x 3 x 6 3 4 4 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 0 x 2 S 0;2 (12x 1)(12x 2)(12x 3)(12x 4) 7920 (Nhân cả hai về với 24 ) 144x2 60x 4 144x2 60x 6 7920 Đặt: 144x2 60x 5 y Ta có phương trình: (y 1)(y 1) 7920 y2 7921 y 89 hoặc y 89 7 Với y 89, ta có: 144x2 60x 5 89. Giải ra: x 1 hoặc x 12 Với y 89, ta có: 144x2 60x 5 89. Giải thích được phương trình này vô nghiệm. 7 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 hoặc x 12
4. b) x4 30x2 31x 30 0 x4 5x3 5x3 25x2 5x2 25x 6x 30 0 x3 5x2 5x 6 x 5 0 x3 6x2 x2 6x x 6 x 5 0 x 6 0 x 5 0 2 x x 1 0 x 6 x 5 2 1 3 x 0,x 2 4 Vậy S 6;5 Bài 3: (2,0 điểm) a b c a2 b2 c2 Cho 1 chứng minh rằng: 0 b+c c+a a+b b+c c+a a+b Lời giải Ta có a b c 1 b+c c+a a+b a a b a c b b c b a c a c a b a b b c a c Suy ra a3 b3 c3 abc Ta có a2 b2 c2 a2 a b a c b2 b c b a c2 b c a c b+c c+a a+b a b b c c a Biến đổi tử thức ta có a2 a b a c b2 b c b a c2 b c a c a4 b4 c4 a3b a3c b3a b3c c3a c3b a b c a.b.c Thay a3 b3 c3 abc ta được a2 a b a c b2 b c b a c2 b c a c a4 b4 c4 a3b a3c b3a b3c c3a c3b a b c a3 b3 c3 0 a2 b2 c2 Vậy 0 b+c c+a a+b Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H .
5. a) Tính tổng: HD HE HF AD BE CF b) Chứng minh: BH.BE CH.CF BC 2 . c) Chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác DEF . d) Trên cạnh HB,HC lấy các điểm M,N tuỳ ý sao cho HM CN . Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Lời giải a) Tổng: HD HE HF S S S BCH CHA AHB 1 AD BE CF SABC b) Chứng minh: BH.BE CH.CF BC 2 . Ta có BH.BE BD.BC CH.CF CD.CB Suy ra BH.BE CH.CF BD CD BC BC 2 c) Chứng minh: H cách đều 3 cạnh tam giác DEF . Ta chứng minh AEF : ABC : DEC ·AEF D· EC F· EB D· EB Suy ra EB là phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC là phân giác góc DFE . Suy ra H là giao điểm ba đường phân giác DEF
6. Suy ra H cách đều 3 cạnh tam giác DEF . d) Trên cạnh HB,HC lấy các điểm M,N tuỳ ý sao cho HM CN . Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Khi M trùng với H thì N trùng với C Kẻ đường trung trực của đoạn HC Khi M  C ' thì HC ' CH khi đó N  H Kẻ đường trung trực của đoạn HC ' Hai đường trung trực cắt nhau tại O khi đó điểm O cố định. Chứng minh điểm O nằm trên đường trung trực của MN khi M,N thay đổi. Chứng minh OM ON Vậy đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta vẫn được một số chính phương. 1 1 1 2 1 b) Cho x, y, z khác 0 thoã mãn: 2 và 4 x y z xy z2 2018 Tính D x 2y z Lời giải a) Gọi số chính phương có bốn chữ số ban đầu là abcd Ta có abcd m2 Theo đề bài ta có abcd 1353 n2 Suy ra n2 m2 1353 n m n m 3.11.41
7. Có m 1000;n 100000 Suy ra 64 m n 200 m n 123 m 56 n m 11 n 67 Vậy số cần tìm là 3136 . 1 1 1 b) Đặt a, b, c x y z Ta có a b c 2 và 2ab c2 4 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 4 2ab c2 a2 b2 2c2 2bc 2ac 0 a c 2 b c 2 0 a b c x y z 1 1 1 Thay x y z vào 2 ta tìm được x y z 1 1 1 x , y , z 2 2 2 2018 Thay vào D x 2y z ta được 2018 1 1 1 D 2 1 2 2 2 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =