Đề thi khảo sát chất lượng Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Yên Thành (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi khảo sát chất lượng Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Yên Thành (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho a b 1. Tính M 2 a3 b3 3 a2 b2 b) Tìm dư trong phép chia đa thức f (x) x2020 1 cho đa thức g(x) x2 x 1 Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 x x2 x 2 24 b) Tìm các số thực a , b , c biết : a b c 9 vaa a2 b2 c2 27 Bài 3: (3,0 điểm) a) Cho 3 số nguyên tố liên tiếp x , y , z thỏa mãn x y z và x2 y2 z2 là một số nguyên tố. Chứng minh (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 cũng là một số nguyên tố. 8 b) Cho x , y là các số thực thỏa mãn: x2 y2 4 xy . Chứng minh: x2 y2 8 3 Bài 4: (8,0 điểm) Nội dung Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) . Đường phân giác AD(D BC) . Kẻ DE vuông góc với AB , kẻ DF vuông góc với AC (E AB,F AC) . BF cắt DE tại M ,CE cắt DF tại N . BD 1 a) Biết AB 4 cm, . Tính diện tích tam giác ABC . BC 3 EM BE b) Chứng minh . MD EA c) Chứng minh MN//BC . d) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . Gọi I là giao điềm của BF và CE . Chứng minh A,I,H thẳng hàng. Bài 5: (1,0 điểm) Cho chín số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 9 xếp theo thứ tự tùy ý. Lấy số thứ nhất trừ 1, lấy số thứ hai trừ 2 , lấy số thứ ba trừ 3 , , lấy số thứ chín trừ 9 . Chứng minh rằng tích của chín số mới lập được là một số chẵn. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Họ và tên thí sinh .. SBD .. Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 1
2. ĐÁP ÁN KỲ THI KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: Toán 8 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho a b 1. Tính M 2 a3 b3 3 a2 b2 b) Tìm dư trong phép chia đa thức f (x) x2020 1 cho đa thức g(x) x2 x 1 Lời giải a) Ta có (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 1 3ab và (a b)2 a2 2ab b2 a2 b2 (a b)2 2ab 1 2ab Khi đó M 2 6ab 3 6ab 1 b) Ta có: f (x) x2020 1 x.(x3 )673 1 x.(x3 )673 x x 1 3 673 x. (x ) 1 x 1 Do (x3 )673 1x3 1và x3 1 (x 1)(x2 x 1) nên (x3 )673 1x2 x 1 Vậy dư trong phép chia đa thức f (x) x2020 1cho đa thức g(x) x2 x 1là x 1. Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 x x2 x 2 24 b) Tìm các số thực a , b , c biết : a b c 9 và a2 b2 c2 27 Lời giải a) Giải phương trình: x2 x x2 x 2 24 Đặt x2 x a . Ta có phương trình : a(a 2) 24 a2 2a 24 0 (a 6)(a 4) 0 a 6 hoặc a 4 Với a 4 x2 x 4 x2 x 4 0 2 1 15 x 0 (Phương trình vô nghiệm) 2 4 Với a 6 x2 x 6 x2 x 6 0 (x 2)(x 3) 0 x 2 hoặc x 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2;3 b) Tìm các số a , b , c biết a b c 9 và a2 b2 c2 27 Trang 2
3. Ta có a b c 9 (a b c)2 81 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 81 ab bc ca 27 Từ đó suy ra a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 0 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 Vì (a b)2 0 với mọi a ,b ; (a b)2 0 với mọi b ; c (a b)2 0 với mọi a , c ; nên (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a,b,c Dấu " " xảy ra khi a b c Mà a b c 9 nên a b c 3 Bài 3: (3,0 điểm) a) Cho 3 số nguyên tố liên tiếp x , y , z thỏa mãn x y z và x2 y2 z2 là một số nguyên tố. Chứng minh (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 cũng là một số nguyên tố. 8 b) Cho x , y là các số thực thỏa mãn: x2 y2 4 xy . Chứng minh: x2 y2 8 3 Lời giải a) Với x 2 suy ra y 3, z 5 . Khi đó x2 y2 z2 38 là hợp số. Với x 3 suy ra y 5, z 7 . Khi đó x2 y2 z2 83là số nguyên tố. Với x 3 suy ra y 3, z 3. Khi đó x , y , z đều không chia hết cho 3. Do đó x2 ; y2 ; z2 chia cho 3 dư 1 x2 y2 z2 chia hết cho 3 mà x2 y2 z2 3 nên x2 y2 z2 la hợp số. Vậy x 3, y 5, z 7 Suy ra (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 29 là số nguyên tố. b) Ta có: x2 y2 4 xy 2x2 2y2 8 2xy x2 y2 x2 2xy y2 8 x2 y2 (x y)2 8 Vì (x y)2 0x, y nên (x y)2 8 8 (1) Dấu " " xảy ra khi x y 2 Lại có: 2x2 2y2 8 2xy 3x2 3y2 8 x2 2xy y2 3 x2 y2 (x y)2 8 8 Vì (x y)2 0x, y nên (x y)2 8 8 Trang 3
4. 8 x2 y2 (2) 3 2 Dấu " "xảy ra khi x y 3 8 Từ (1) và (2) suy ra: x2 y2 8 3 Bài 4: (8,0 điểm) Nội dung Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) . Đường phân giác AD(D BC) . Kẻ DE vuông góc với AB , kẻ DF vuông góc với AC (E AB,F AC) . BF cắt DE tại M ,CE cắt DF tại N . BD 1 a) Biết AB 4 cm, . Tính diện tích tam giác ABC . BC 3 EM BE b) Chứng minh . MD EA c) Chứng minh MN//BC . d) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . Gọi I là giao điểm của BF và CE . Chứng minh A,I,H thẳng hàng. Lời giải BD 1 BD 1 a) Ta có: BC 3 DC 2 BD AB Xét tam giác ABC có AD là phân giác nên DC AC 4 1 hay AC 8cm AC 2 1 1 Vậy S AB.AC .4.8 16cm ABC 2 2 b) Ta có: Tứ giác AEDF có: A E F 90o nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật suy ra DF//AB, DF=AE BE EM Vì DF//AB nên DF//BE (Hệ quả của định lí Talet) DF MD BE EM Mà DF AE nên AE MD NE AF c) Ta có FD//AB (Định lí Talet) NC FC AF BD Lại có ( DE//AB , định lí Talet) FC DC BD BE ( DE//AC , định lí Talet) DC AE Trang 4
5. EM EN Suy ra MD NC MN//BC (Định lí Talet đảo) d) Xét hình chữ nhật AEDF có AD là phân giác nên là hình vuông suy ra: AE AF DF EF 1 FN FC FD Ta có ( FD//AB , hệ quả của định lí Talet) 2 AE AC AB FN AF AF AB Từ 1 và 2 suy ra AF AB FN FA Xét AFBvà FNA có: FAB AFN 90 AF AB (chứng minh trên) FN FA Do đó AFB ∽ FNA(c.g.c) AFB ANF Mà ANF NAF 90 nên AFB NAF 90o BF  AN Chứng minh tương tự ta có: CE  AM Từ đó suy ra I là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ M và N của tam giác AMN nên AI  MN mà MN//BC (câu c) nên AI  BC . Mặt khác AH  BC ( AH là đường cao của tam giác ABC ) Suy ra A,I,H thẳng hàng. Bài 5: (1,0 điểm) Cho chín số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 9 xếp theo thứ tự tùy ý. Lấy số thứ nhất trừ 1, lấy số thứ hai trừ 2 , lấy số thứ ba trừ 3 , , lấy số thứ chín trừ 9 . Chứng minh rằng tích của chín số mới lập được là một số chẵn. Lời giải Gọi chín số ban đầu là: a1,a2 ,a1,a8 ,a9 . thì chín số mới là: a1 1;a2 2;;a8 8;a9 9 . Để chứng minh tích của chín số mới là số chẵn, ta chứng tỏ rằng tồn tại một số mới là số chẵn. Thật vậy, giả sử chín số mới đều là số lẻ thì tổng của chúng là số lẻ. Do đó: (a1 1) (a2 2)  (a8 8) (a9 9) là số lẻ nên (a1 a2 ... a8 a9 ) (1 2 ... 8 9) là số lẻ. Mặt khác (a1 a2 ... a8 a9 ) (1 2 ... 8 9) 0 nên suy ra 0 là số lẻ, vô lí. Vậy tích của chín số mới lập được là số chẵn. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang 5