Đề thi chọn Học sinh giỏi Olympic 24/7 môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Thành phố Bà Rịa (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi Olympic 24/7 môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Thành phố Bà Rịa (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ BÀ RỊA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLIMPIC 27/4 NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên lẻ bất kỳ thì hết cho 8. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x x 4 x 6 x 10 128 Bài 2: (4,0 điểm) 2x2 4x 6 x 2 3 a) Cho biểu thức A 2 với x 1; x 3 x2 2x 3 x 1 x 3 Rút gọn A và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 2 2 1 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 1 1 biết a b 1và a 0;b 0 . a b Bài 3: (4,0 điểm) 214 x 265 x 216 x 167 x a) Tìm giá trị của x biết 10 91 71 31 11 y z 1 z x 2 x y 3 1 b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x y z x y z Tính giá trị biểu thức A 2020x y2021 z2021 Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Vẽ hình chữ nhật AOBE . Đường thẳng OE cắt AB , CD lần lượt ở G, F . Đường thẳng DE cắt AB , OA lần lượt ở H, I . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và OF . Chứng minh: a) Tứ giác ADOE là hình bình hành b) Ba điểm G, I, M thẳng hàng c) Ba đường thẳng AC,CD, MN đồng quy 2 2 d) 12.EH.ED 4BD AC Bài 5: (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , O là trung điểm của AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB . Gọi C là một điểm thuộc tia Ax . Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D . Chứng minh: a, AC BD CD b, CO là tia phân giác của ·ACD = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI OLIMPIC 27/4 NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN TOÁN LỚP 8 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số nguyên lẻ bất kỳ thì chia hết cho 8. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử M x x 4 x 6 x 10 128 Lời giải a) Gọi hai số nguyên lẻ bất kỳ là 2x 1 và 2y 1 x, y Z 2 2 Ta có 2x 1 2y 1 4x2 4x 1 4y2 4y 1 4x x 1 4y y 1 chia hết cho 8. b) M x x 4 x 6 x 10 128 x2 10x x2 10x 24 128 Đặt x2 10x 12 t . Khi đó: M t 12 t 12 128 M t 2 144 128 M t 2 16 t 4 t 4 M x2 10x 16 x2 10x 8 M x 2 x 8 x2 10x 8 Bài 2: (4,0 điểm) 2x2 4x 6 x 2 3 a) Cho biểu thức A 2 với x 1; x 3 x2 2x 3 x 1 x 3 Rút gọn A và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên 2 2 1 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 1 1 biết a b 1và a 0;b 0 . a b Lời giải 2x2 4x 6 x 2 3 a) A 2 x2 2x 3 x 1 x 3 2x2 4x 6 x 2 x 3 3 x 1 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 2x2 4x 6 x2 x 6 3x 3 2x2 4x 6 x 1 x 3 x2 4x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
3. x 1 x 1 x 1 2 Ta có A nhận giá trị nguyên A Z 1 Z x 1 x 1 x 1 2; 1;1;2 x 1;0;2;3 b) Biết a b 1và a 0;b 0 . 2 2 1 1 Ta có D 1 1 a b 2 2 a b a b 1 1 a b 2 2 b a 2 2 a b a b a2 b2 8 4 2 2 b a b a Theo bất đẳng thức Cauchy D 8 4.2 2 18 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 18 khi a b 2 Bài 3: (4,0 điểm) 214 x 265 x 216 x 167 x a) Tìm giá trị của x biết 10 91 71 31 11 y z 1 z x 2 x y 3 1 b) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x y z x y z Tính giá trị biểu thức A 2020x y2021 z2021 Lời giải 214 x 265 x 216 x 167 x a) 10 91 71 31 11 214 x 265 x 216 x 167 x 1 2 3 4 0 91 71 31 11 123 x 123 x 123 x 123 x 0 91 71 31 11 1 1 1 1 123 x 0 91 71 31 11 123 x 0 x 123 Vậy x 123 y z 1 z x 2 x y 3 y z 1 z x 2 x y 3 2 x y z b) 2 x y z x y z x y z 1 1 2 x y z x y z 2 y z 1 Ta có 2 y z 1 2x x y z 1 3x x 1 1 1 3x x 2 2
4. z x 2 1 5 2 z x 2 2y 2 3y y y 2 6 x y 3 1 5 2 x y 3 2z 3 3z z z 2 6 2021 2021 2021 2021 1 5 5 A 2020x y z 2020. 1010 2 6 6 Vậy A 1010 Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo vẽ hình chữ nhật AOBE . Đường thẳng OE cắt AB , CD lần lượt ở G, F . Đường thẳng DE cắt AB , OA lần lượt ở H, I .Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và OF . Chứng minh: a) Tứ giác ADOE là hình bình hành b) Ba điểm G, I, M thẳng hàng c) Ba đường thẳng AC,CD, MN đồng quy 2 2 d) 12.EH.ED 4BD AC Lời giải a) Ta có AE//OB và AE OB (vì AOBE là hình chữ nhật) Nên AE//OD và AE OD (vì OB OD ) Do đó tứ giác ADOE là hình bình hành. b) Ta có G là trung điểm của AB ( vì AOBE là hình chữ nhật ) I là trung điểm của AO ( vì ADOE là hình bình hành ) M là trung điểm của AD Nên IM , IG lần lượt là đường trung bình của tam giác AOB , AOD IG//OB và IM //OD G, I, M thẳng hàng c) Ta có O, M , F lần lượt là trung điểm của AC, AD,CD Nên OM , MF lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD OM //CD và MF //AC hay OM //CF và MF //OC Do đó tứ giác OCFM là hình bình hành Mà N là trung điểm của OF N là trung điểm của MC
5. Vậy ba đường thẳng AC,CD, MN đồng quy. d) AOE có AG , EI là hai đường trung tuyến cắt nhau tại H nên H là trọng tâm của AOE 2 2 1 1 EH EI EH.ED . ED.ED ED2 3 3 2 3 1 2 2 1 2 1 2 EH.ED BD EB EH.EB BD AC 3 3 4 12.EH.ED 4BD2 AC 2 Bài 5: (3,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB , O là trung điểm của AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB . Gọi C là một điểm thuộc tia Ax . Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D . Chứng minh: a, AC BD CD b, CO là tia phân giác của ·ACD Lời giải Chứng minh. a) Gọi I là trung điểm của CD Tứ giác ACDB là hình thang ( do AC//BD ) OI là đường trung bình của hình thang ACDB AC BD OI AC BD 2.OI 1 2 Ta lại có OCD vuông tai O Có OI là đường trung tuyến CD OI 2.OI CD 2 2 Từ 1 và 2 suy ra AC BD CD b) Ta có OCD vuông tai O có OI là đường trung tuyến OI IC IOC cân tại I I·OC I·CO Mà I·OC ·ACO (So le trong) ·ACO I·CO Vậy CO là tia phân giác ·ACD .
6. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =