Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Nghi Lộc (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Nghi Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI LỘC NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn: TOÁN 8 (ĐỀ CHÍNH THỨC) Thời gian làm bài: 120 phút – không kể thời gian phát đề 3 x 9x2 3 x 3x 3x 4 Bài 1: (6,0 điểm) Cho P 2 : 2 3 3 x x 9 3 x 3x x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . P b)Tìm x thỏa mãn: 3P 19 5x . x c) Tìm x Z để P nguyên. Bài 2: (3,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 7xy 12y2 20y 5x . a3 b3 b5 c5 a7 c7 b)Cho a b c ab bc ca abc và abc 0 . Tính P . a2 b2 c2 Bài 3:(3,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: x2 2 y x3 3x 5 0 . b)Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2019 4 x2 5x 2018 4 2x2 x 2019 x2 5x 2018 . 2 x 3y 2 Bài 4:(1,0 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 9 x . x 3 Bài 5:(6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A(AB AC) , đường cao AH . Trên đoạn HC lấy điểm M sao cho HM AH , đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AC tại N , gọi I là trung điểm của BN . a) Tính ·AHI . b)Chứng minh tam giác ACM đồng dạng với tam giác BCN . c) Biết AB 1, AC x x 1 . Tính diện tích BHI theo x , chứng tỏ rằng diện tích này 2 1 lớn nhất bằng . 8 Bài 6:(1,0 điểm)Cho tam giác ABC cân tại A , có µA 100o , tia phân giác trong góc B cắt AC tại D . Chứng minh rằng BC BD AD . = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆNNGHI LỘC Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 3 x 9x2 3 x 3x 3x 4 Bài 1: (6,0 điểm)Cho P 2 : 2 3 3 x x 9 3 x 3x x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P . P b)Tìm x thỏa mãn: 3P 19 5x . x c) Tìm x Z để P nguyên. Lời giải a) 3 x 0 2 x 9 0 x 3 Biểu thức P xác định 3 x 0 x 0 3x2 x3 0 4 x 3 3x 3x 4 0 Với điều kiện (*) ta có: 3 x 9x2 3 x 3x 3x 4 P 2 : 2 3 3 x x 9 3 x 3x x 3 x 9x2 3 x x2 3 x 2  3 x 9 x 3 x 3x 3x 4 2 2 3 x 9x2 3 x x 3 x  3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3x 4 9 6x x2 9x2 9 6x x2 x 3 x  3 x 3 x 3 3x 4 3x 3x 4 x  3 x 3 3x 4 x2 x 3 x2 Vậy P với x thỏa mãn ĐKXĐ (*). x 3 b)
3. x2 Với P với x thỏa mãn ĐKXĐ (*) (trong câu a) ta có: x 3 P 3P 19 5x trở thành: x x2 x2 x 3 3 19 5x x x 3 x 3x2 19 5x x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 3x2 19x 57 5x2 15x 0 x 3 8x2 5x 57 0 5 57 x2 x 0 8 8 2 5 1849 x 16 256 5 1849 x 16 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) 5 1849 x 16 16 5 1849 5 1849  Vậy x ;  16 16  x2 c)Với ĐKXĐ (*) thì P (theo câu a). x 3 x2 Để P ¢ thì ¢ x 3 Vì x ¢ x2 ¢ và x 3 ¢ x2  x 3 Lại có x2 x x 3 3 x 3 9 9 x 3 x 3 Ö 9 x 3 9; 3; 1;1;3;9 Ta có bảng sau: x 3 9 3 1 1 3 9
4. x 12 6 4 2 0 6 P 16 4 16 4 0 4 Kết luận Nhận Nhận Nhận Nhận Loại Nhận Vậy x 12; 6; 4; 2;6 thì P ¢ . Bài 2: (3,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 7xy 12y2 20y 5x . a3 b3 b5 c5 a7 c7 b)Cho a b c ab bc ca abc và abc 0 . Tính P . a2 b2 c2 Lời giải a)Ta có: x2 7xy 12y2 20y 5x x2 4xy 3xy 12y2 5 x 4y x x 4y 3y x 4y 5 x 4y x 4y x 3y 5 Vậy x2 7xy 12y2 20y 5x x 4y x 3y 5 b)Ta có: a b c ab bc ca abc a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 2abc 0 a2b 2abc bc2 ab2 b2c ac2 a2c 0 2 b a c b2 a c ac a c 0 a c ab bc b2 ac 0 a c b a b c b a 0 a c a b b c 0 a c 0 a b 0 b c 0 Nếu a b 0 a b a3 b3 a3 b3 0 P 0 Nếu b c 0 b c b5 c5 b5 c5 0 P 0 Nếu a c 0 a c a7 c7 a7 c7 0 P 0 Vậy P 0 với a,b,c thỏa mãn đề bài.
5. Bài 3:(3,0 điểm) a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn: x2 2 y x3 3x 5 0 . b)Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2019 4 x2 5x 2018 4 2x2 x 2019 x2 5x 2018 . Lời giải a)Ta có: x2 2 y x3 3x 5 0 x2 2 y x3 3x 5 x3 3x 5 y (vì x2 2 2 0,x ¢ ) x2 2 x 5 y x x2 2 x;y ¢ x 5  x2 2 x 5 x 5  x2 2 27 x2 2 x2 2 Ö 27 1; 3; 9; 27 Do x2 2 2 x2 2 3;9;27 x;y 1; 3 ; 5;5  2x2 x 2019 a b)Đặt . 5 x 5x 2018 b Phương trình đã cho trở thành: a2 4b2 4ab a2 4ab 4b2 0 2 a 2b 0 a 2b 2x2 x 2019 2 x2 5x 2018 2x2 x 2019 2x2 10x 4036 11x 2017 2017 x 11
6. 2017 Vậy phương trình có nghiệm là x 11 2 x 3y 2 Bài 4:(1,0 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 9 x . x 3 Lời giải 2 x 3y 0,x 3, y ¡ Ta thấy x 3 2 9 x 0,x 2 x 3y 2 A 9 x 0 x, y ¡ , x 3 x 3 2 x 3y 0 x 3 x 3 Dấu “=” xảy ra 9 x2 0 y 1 x 3 Vậy GTNN của biểu thức A bằng 0 khi x 3 và y 1. Bài 5:(6,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A(AB AC), đường cao AH . Trên đoạn HC lấy điểm M sao cho HM AH , đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AC tại N , gọi I là trung điểm của BN . a) Tính ·AHI . b)Chứng minh tam giác ACM đồng dạng với tam giác BCN . c) Biết AB 1, AC x x 1 . Tính diện tích BHI theo x , chứng tỏ rằng diện tích này 2 1 lớn nhất bằng . 8
7. Lời giải a) B· AN 90o Xét ABN có: AI laø ñöôøng trung tuyeán BN AI 1 2 BN Xét BMN vuông tại M và MI là đường trung tuyến MI 2 2 Từ (1) và (2) AI MI Xét AHI và MHI , ta có: AI IM cmt HI laøcaïnhchung AH HM gt AHI MHI (ccc) A· HI M· HI 2 goùctöông önù g Mà A· HI I·HM A· HM 90o 90o A· HI 45o 2 Vậy ·AHI 45o b)Xét ABC và MNC , có: B· AC N· MC 90o µ C : chung
8. ABC” MNC gg AC BC MC NC AC MC BC NC Xét ACM và BCN , có: Cµ : chung AC MC cmt BC NC ACM” BCN cgc ñpcm 1 1 x SABC AB  AC 1 x c)Ta có: 2 2 2 1 1 1 S AB  AN 11 ABN 2 2 2 x 1 x 1 S S S BNC ABC ABN 2 2 2 x 2 1 2SABC 2 x Lại có: SABC AH  BC AH 2 BC x2 1 x2 1 AN AB 1; AC x NC AC AN x 1 Dễ thấy MCN” HCA CN MN x 1 MN CA AH x x x2 1 x x 1 x 1 MN x2 1 x x2 1 Áp dụng định lý Pytago vào AHC vuông tại H , ta có: x2 x4 HC2 AC2 AH 2 x2 1 x2 x2 1 x2 HC x2 1
9. 2 1 1 x 1 x2 1 x x 1 SNHC NM  HC    2 2 2 x2 1 x2 1 2 x 1 2 x 1 x x 1 x 1 S S S BHN BNC HNC 2 2 x2 1 2 x2 1 1 x 1 Lại có: S S S BHI 2 BHN BHI 4 x2 1 2 2 1 4 x 1 4 x 1 2 2 2 Ta có: 4 x 1 4 x 1 2 SBHI x 1 x 1 x 1 x 1 Theo bất đẳng thức Cosi: 2 2 4 x 1 2 4 2 x 1  2 4 2 2 2 8 2 1 x 1 x 1 1 8 2 1 SBHI 1 SBHI 8 2 1 2 1 S BHI 8 2 1 Vậy S đạt GTLN bằng . BHI 8 Bài 6: (1,0 điểm)Cho tam giác ABC cân tại A , có µA 100o , tia phân giác trong góc B cắt AC tại D . Chứng minh rằng BC BD AD . Lời giải
10. DM  AB, M AB Từ D kẻ: DN  BC, N BC Lấy K BC sao cho BD BK Vì BD là tia phân giác của A· BC và DM  AB,DN  BC DM DN Xét ABC cân tại A , B· AC 100o A· BC A· CB 40o A· BD D· AC 20o Xét DKB cân tại B , D· BK D· KB 80o Mà C· KD D· KB 180o (hai góc kề bù) C· KD 100o Lại có: K· CD B· CA 40o C· DK 40o CKD cân tại K CK DK Mặt khác: D· KN D· KB 80o (*) · · o  DAM DAB 180 (2 goùc keà bu)ø · o  DAM 80 (**) · · o DAB CAB 100  Từ (*) và (**) D· AM D· KN 80o 90o D· AM 90o D· KN M· DA N· DK Xét DAM và DKN có:
11. D· MA D· NK 90o DM DN · · MDA NDK DAM DKN (gcg) DA DK (2 cạnh tương ứng) Mà DK CK Nên DA CK Lại có: BD BK DA BD CK BK DA BD BC (đpcm) = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =