Đề giao lưu Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT huyện Như Xuân (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề giao lưu Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT huyện Như Xuân (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ XUÂN NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút Bài 1: (4,0 điểm) x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để gia trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử 2 a) x3 x2 7 36x b) x4 2021x2 2020x 2021 2. Tìm đa thức f x biết rằng f x chia cho x 2 dư 10, f x chia cho x 2dư 24 , f x chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Bài 3:(4,0 điểm) 1. Chứng minh rằng: A n3 6n2 8n chia hết cho 48 với n chẵn 2. Tìm các nghiệm nguyên dương x; y của phương trình 7x xy 3y 0 Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình bình hành ABCD , lấy điểm M trên BD sao cho MB MD . Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H 1. Chứng minh KF //EH 2. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng qui 3. Chứng minh: SMKAE SMHCF Bài 5:(2,0 điểm)Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2020 – 2021 MÔN TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) x2 2x 2x2 1 2 Cho biểu thức: A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x a) Tìm x để gia trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A b)Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Lời giải a)ĐKXĐ: x 2; x 0 x2 2x 2x2 1 2 Ta có: A 2 2 3 1 2 2x 8 8 4x 2x x x x x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 4 2 x x 2 x x 2 x 4 2 2 x 2x 2 x 4x x2 x 2 . 2 x2 4 2 x x2 2x2 x3 4x 2x2 4x2 x x 1 2 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2 x x 4 x 1 x 2 x 1 . 2 x2 4 2 x x2 2x x 1 b) *) Z x 12x 2x 22x , mà 2x2x 2x 22x 1x x 1hoặc x 1 *) Ta thấy x 1hoặc x 1 (TM ĐKXĐ) x 1 Vậy A Z x 1hoặc x 1 2x Bài 2: (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử 2 a) x3 x2 7 36x b) x4 2021x2 2020x 2021 2. Tìm đa thức f x biết rằng f x chia cho x 2 dư 10, f x chia cho x 2dư 24 , f x chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Lời giải 2 1. a) Ta có: x3 x2 7 36x x x3 7x 6 x3 7x 6 x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3
3. b) Ta có: x4 2021x2 2020x 2021 x4 x3 x2 202x2 2020x 2020 x3 1 x2 x2 x 1 2020 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 2020 x 1 x2 x 1 x2 x 2021 2. Giả sử f x x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . Khi đó f x x2 4 5x ax b 7 f 2 24 2a b 24 a Theo đề bài ta có: 2 f 2 10 2a b 10 b 17 47 Vậy đa thức cần tìm là : f x 5x3 x 17 2 Bài 3:(4,0 điểm) 1. Chứng minh rằng: A n3 6n2 8n chia hết cho 48 với n chẵn 2. Tìm các nghiệm nguyên dương x; y của phương trình 7x xy 3y 0 Lời giải 1. Ta có: A n3 6n2 8n n n2 6n 8 n n 2 n 4 Vì n là số chẵn nên đặt n 2k k ¢ , khi đó: A 2k 2k 2 2k 4 8k k 1 k 2 Vì k k 1 k 2 là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên: - Tồn tại một số là bội của 2 nên k k 1 k 2 2 nên A16 - Tồn tại một số là bội cuẩ 3 nên k k 1 k 2 3 Vậy A chia hết cho 3, 16 mà 3,16 1 nên A3.16 48. 2. Ta có: 7x xy 3y 0 x 3 7 y 21 * Vì x ¢ * nên x 3 4 x 3 7 x 4 Từ * suy ra 7 y 3 y 4 x 3 21 x 18 Hoặc 7 y 1 y 6 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên dương là: x; y 4;4 ; x; y 18;6 . Bài 4:(6,0 điểm)Cho hình bình hành ABCD , lấy điểm M trên BD sao cho MB MD . Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H 1. Chứng minh KF //EH 2. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy 3. Chứng minh: SMKAE SMHCF
4. Lời giải P P' A K B I O E M F N Q G D H C 1. MF BF BF Chứng minh được: (hệ quả định lí Ta – lét ) ME DE FC BK MB MF Chứng minh được: (định lí Ta – lét ) AK MD ME BK BF Suy ra KF //AC (định lí Ta – lét đảo) AK FC Chứng minh tương tự ta có: EH //AC Kết luận KF //EH 2. Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q. N là giao điểm của AC và BD. OK QE Chứng minh được 1 OF QH Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và DB là P '. Chứng minh được P và P ' trùng nhau. Kết luận các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy tại P. 3. Kẻ EG và FI vuông góc với HK, I và G thuộc HK. Chỉ ra được: SMKAE MK.EG; SMHCF MH.FI MK KB Chứng minh được: MH HD MK MF Suy ra MH ME MF FI Chứng minh được: ME EG MK FI Suy ra , suy ra MK.EG MH.FI MH EG Suy ra SMKAE SMHCF (đpcm) Bài 5: (2,0 điểm)Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2
5. Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: với a,b,c ¡ và x, y, z 0 ta có: 2 a2 b2 c2 a b c * x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra . x y z Thật vậy, với a,b ¡ và x, y 0 ta có: 2 a2 b2 a b ** x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 2 bx ay 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra . x y Áp dụng BĐT ** ta có: 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra . x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 b c b3 c a c3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng BĐT * ta có: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2 ab bc ca 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 (vì a,b,c 0 ) nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy (đpcm) a3 b c b3 c a c3 a b 2 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =