Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Thanh Chương (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi Học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Thanh Chương (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) m(x2 1) x(m2 1) b) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 2. Cho A 33...32 55...544...42 ( n là số tự nhiên lớn hơn 1). Chứng minh rằng A là số chính n n 1 n phương. Bài 2: (4,0 điểm) x 1009 x 3 x 2017 a) Giải phương trình: 6 1010 1011 1012 1 1 1 b) Cho abc 1. Chứng minh 1 1 a ab 1 b bc 1 c ca Bài 3: (4,0 điểm) 4x2 2x 7 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của N x2 2 b) Cho x; y; z là các số không âm thoả mãn xyz 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 P (x 1)2 y2 1 (y 1)2 z2 1 (z 1)2 x2 1 2 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC a) Chứng minh AD.AB AE.AC 1 b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD bằng diện tích tam 2 giác ABC ? CF CB c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM tại F và cắt AB tại G Chứng minh 1 FG CA Bài 5: (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 3cm và 4cm (Các điểm này có thể nằm trong hoặc trên cạnh của hình chữ nhật). Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong sáu điểm này mà bình phương khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5cm. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) m(x2 1) x(m2 1) b) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) 24 2 2 2. Cho A 33.....3 5 5....544....4 ( n là số tự nhiên lớn hơn 1). Chứng minh rằng A là số chính n n 1 n phương. Lời giải 1. a) b) Học sinh phân tích mỗi bài đúng cho 1,0 điểm, phân tích không hết trừ 0,5 điểm. 10n 1 2. Đặt a 11.....1 n 9 n a 1 Ta có 10 9a 1 và 11.....1 , suy ra: n 10 2 a 1 A (3a)2 5. (9a 1) 4a 10 9a2 1 9a2 1 9a2 ( )2 ( )2 2 2 9a2 1 Vì A lẻ nên nguyên. Suy ra A là số chính phương. 2 Bài 2: (4,0 điểm) x 1009 x 3 x 2017 a) Giải phương trình: 6 1010 1011 1012 1 1 1 b) Cho abc 1. Chứng minh 1 1 a ab 1 b bc 1 c ca Lời giải x 1009 x 3 x 2017 a) 6 1010 1011 1012 x 1009 x 3 x 2017 1 2 3 0 1010 1011 1012 x 1009 1010 x 3 2.1011 x 2017 3.1012 0 1010 1011 1012 x 2019 x 2019 x 2019 0 1010 1011 1012 1 1 1 (x 2019)( ) 0 1010 1011 1012 x 2019
3. x y z b) Vì abc 1 nên đặt a , b , c với x; y; z 0 y z x 1 1 1 1 1 1 x x y y z z 1 a ab 1 b bc 1 c ca 1 1 1 Ta có y z z x x y yz zx xy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Bài 3: (4,0 điểm) 4x2 2x 7 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của N x2 2 b) Cho x; y; z là các số không âm thoả mãn xyz 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 P (x 1)2 y2 1 (y 1)2 z2 1 (z 1)2 x2 1 2 Lời giải 4x2 2x 7 x2 2x 1 3x2 6 (x 1)2 a) N 3 3 x2 2 x2 2 x2 2 Dấu “=” xảy ra khi x 1. Vậy MinN = 3 khi x 1 b) Ta có: (x 1)2 y2 1 x2 2x 1 y2 1 2xy 2x 2 1 1 (x 1)2 y2 1 2xy 2x 2 1 1 Tương tự (y 1)2 z2 1 2yz 2y 2 1 1 (z 1)2 x2 1 2zx 2z 2 1 1 1 P 2xy 2x 2 2yz 2y 2 2zx 2z 2 Hay 1 1 1 1 1 ( ) 2 xy x 1 yz y 1 zx z 1 2 Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC a) Chứng minh AD.AB AE.AC 1 b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD bằng diện tích tam 2 giác ABC ? CF CB c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM tại F và cắt AB tại G Chứng minh 1 FG CA Lời giải
4. a) Ta có AEHD là hình chữ nhật nên góc ADE = góc AHE . Mà góc AHE = góc C (vì cùng phụ góc EHC ) Suy ra ADE đồng dạng với ACB (g-g) nên AD.AB AE.AC 2 1 1 DE 1 b) Ta có SAEHD SABC nên SADE SABC . Suy ra 2 4 BC 4 DE 1 Suy ra . Suy ra DE AM . Khi đó AH AM nghĩa là tam giác ABC vuông BC 2 cân tại A. CM CF BG BK c) Kẻ GK / / AM , ta có (1) (theo Talet) (2) (theo Talet) MK FG GA KM BG CB Mặt khác lại có (3) GA CA BK CB Từ (2) và (3) ta có (4). Từ (1) và (4) lấy vế trừ vế ta có KM CA CF CB CM BK CM BK 1 FG CA MK KM KM Bài 5: (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 3cm và 4cm (Các điểm này có thể nằm trong hoặc trên cạnh của hình chữ nhật). Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong sáu điểm này mà bình phương khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5cm. Lời giải Chia hình chữ nhật đã cho thành 5 phần như hình vẽ. Khi đó tồn tại 2 điểm trong 6 điểm nằm trong hoặc trên một hình. Ta có khoảng cách lớn nhất của 2 điểm trong một hình
5. theo định lí Pitago: Bình phương khoảng cách giữa hai điểm lớn nhất bằng 12 + 22 = 5. Vậy luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5. = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =